பகா எண்ணுக்கும் ஒற்றை எண்களுக்கும் என்ன தொடர்பு?

Copy of Goldbach's letter to Euler in which he conjectures, dated 7 th July 1742.

வணக்கம் நண்பர்களே,

சென்ற பதிவில் ஃபெர்மேட்டின் தேற்றம் பற்றிய ஒரு பதிவு படித்தோம்.அதே போல் இன்னும் ஒரு 300 வருட கணித புதிர் ஒன்றையும் அதன் நிரூபணம் கண்டுபிடிக்கப்பட போகும் நல்ல செய்தியையும் அறிவோம்.

நம் அனைவருக்கும் ஒற்றை எண்,இரட்டை எண் என்பது அறிவோம்.

ஒற்றை எண் எணில் இரண்டால் வகுத்தால் மீதி ஒன்று வரும்.இரட்டை எண் எனில் இரண்டால் மீதியின்றி வகுபடும்.

முழு எண்களை ஒற்றை  எண்கள்,இரட்டை எண்கள் என இரு

பாதியாக பிரிக்கலாம்.

இந்த ஒற்றை  எண்களில் பல சிறப்பு தன்மை கள் உண்டு.

எடுத்துக்காட்டாக‌

ஒற்றை  எண்களின் தொடர்ச்சியான் கூடுதல் வர்க்க எண்களை உருவாக்கும்

1=1^2

1+3=2^2

1+3+5=3^2

1+3+5+7=4^2

...

1+3+5+7+...+N =[(N+1)/2]2

பகா எண்கள்[prime numbers] எனில் அதே எண்,ஒன்று இவை தவிர வேறு எந்த எண்ணாலும் மீதியின்றி வகுக்க முடியாதவை.

எ.கா

1,2,3,5,7,11,13..

ஒரு எண் பகா எண்ணா என எப்படி கண்டுபிடிப்பதற்கு பல் செயலாக்க முறைகள்[Algorithms] உண்டு.இது எதற்கு வகுத்து பார்த்தால் போகிறதுஎன்கிறீர்களா.  ஒரு 1000 இலக்கம்  உள்ள ஒரு எண்ணை முழு எண் வகுத்தல்[integer division] செய்து அனைத்து வாய்ப்புகளையும் பரிசோதிப்பது மிக்க நேரம் எடுக்கும் செயல் என்பதால் சில குறுக்கு வழிகள் பயன்படுத்துவதே திறமை.

&&&&&&&

இப்பதிவு அது பற்றி அல்ல‌!.

கோல்ட்பாஹ் ஊக கருத்து [Goldbach's conjecture] பற்றியதே இப்பதிவு.கிறிஸ்டியன் கோல்ட்பாஹ் என்பவர் 18ஆம் நூற்றாணடு[பொ.ஆ.1690_1764] ஜெர்மனி நாட்டு கணித மேதை. ஊக கருத்து எனில் ஒரு கருத்து உண்மை என கருதுகோளாக முன் வைக்கப் படுகிற‌து.ஆனால் உண்மை என இன்னும் மிக சரியாக ஐயந்திரிபர நிரூபிக்கப் படவில்லை.

சரி இவருடைய ஊக கருத்துகள் என்ன?

1.இரண்டுக்கு அதிகமான எந்த ஒரு ஒரு இரட்டை முழு எண்ணையும் இரு பகா எண்களின் கூடுதலாக கூற முடியும்.

[ Strong Goldbach's conjecture]

கோல்ட்பாஹின் பெயரால் இந்த கருத்து அழைக்கப்பட்டாலும் இது ஆய்லரால்[Euler] கூறப்பட்டது. ஏன் என்று நம்க்கு தெரியாது.அந்தக் கால அரசியல்!.ஆனால் இரண்டாம் கருத்து கோல்ட்பாஹ் அவர்களின் கருத்தே!

Every even integer greater than 2 can be expressed as the sum of two primes

எ.கா 4=2+2

6=3+3

8=5+3

10=3+7

12=5+7

...........

ஏன் இரண்டை விடுவிட்டார் 2=0+2 அல்லது 1+1 என எழுதலாமே என்றால் இதில் இரு விடயங்கள் உள்ளன. முதலில் 0,1  என்பதை பகா எண்ணாக் ஏற்க முடியுமா?

இப்போது  இரண்டையும்[0 and 1] கணித விதிகளின் படி பகா எண்களாக ஏற்பது இல்லை.ஏன் என்பதை தேடிக்கொண்டு இருக்கிறேன்.அறிந்தவர்கள் கூறலாம்.

ஒரு விடயத்தை நினைவில் கொள்ள வேண்டும். ஒவ்வோரு விதிக்கும் எல்லை உண்டு. எல்லைகளில் விதிகள் கொஞ்சம் மாற்றத்துடன் மட்டுமே செயல்ப‌டும். [ஹி ஹி இந்த விதிக்கும் விதி விலக்கு உண்டா? ஹா ஹா நான் இந்த விளையாட்டுக்கு வரவில்லை.]

இந்த ஊக கருத்தில் இன்னும் ஒரு விடய்ம் இரு ஒற்றை பகா எண்களின் கூடுதல் கோல்ட்பாஹ் எண் என அழைக்கப்படுகிரது.

http://en.wikipedia.org/wiki/Goldbach's_conjecture

2.சரி இவருடைய   இரண்டாம் ஊக கருத்து பற்றியும் அறிவோம்.

இது என்னவாக இருக்கும் என்பதை நாமும் ஊகிக்க முடியும்.

எண் 5 விட பெரிய‌ எந்த ஒரு ஒற்றை முழு எண்ணையும் மூன்று பகா எண்களின் கூடுதலாக் கூறமுடியும். [ Weak Goldbach's conjecture]

முந்தைய கருத்து சரி எனில் இதுவும் சரியாகவே இருக்கும் எப்படி?

ஒரு இரட்டை எண்=இரு பகா எண்களின் கூடுதல்

அதனுடன் ஒன்றை[or any odd prime] கூட்டினால் ஒற்றை எண் வந்துவிடும்.அது சரி ஏன் 5 ஐ சேர்க்கவில்லை?

பாருங்கள்

7=4+3=2+2+3

5=4+1= 1+1+3 ஒன்று வருகிறது.!!!!!!!!!!!!!!

இரண்டு ஊகக் கருத்தையும் சேர்த்து எந்த ஒரு முழு எண்ணையும்[எல்லை 5 உண்டு!] அதிக பட்சமாக் மூன்று பகா எண்களின் கூடுதலாக் கூற முடியும் என எளிமைப்படுத்த்லாம்.

Every integer greater than 5 can be written as the sum of three primes.

http://en.wikipedia.org/wiki/Goldbach's_weak_conjecture

இபோது கணித புதிர் புரிந்து இருக்கும் இது பொ.ஆ.1742ல் போடப்பட்ட புதிருக்கு இன்றுவரை நிரூபணம் இல்லை. கணிணி மூலம் 19 இலக்கம் வரை உள்ள எண்கள்க்கும் இந்த கருத்துகளை சரிபார்த்து உள்ளார்கள்.

இப்போது இரண்டாம் ஊக கருத்தின் [ Weak Goldbach's conjecture]

 நிரூபணம் நெருங்கி விட்டதாக் செய்தி.அது பற்றியே இப்பதிவு.

http://www.scientificamerican.com/article.cfm?id=goldbachs-prime-numbers

கலிபொர்னிய பல்கலைகழகத்தை சேர்ந்த கணித ஆய்வாளர் டெரென்ஸ் டோ [Terence Tao] இவர் ஒரு ஒற்றை எண்னை 5 பகா எண்களின் கூடுதலாக் கூற முடியும் என்பதன் நிரூபித்து உள்ளார்.

கோல்ட்பாஹ் கூறியது 3 பகா எண்கள், திரு டோ 5 பகா எண்களுக்கு கூறிவிட்டாரே அது இதில் அடங்கி விடுமா எனில் அப்படி அல்ல.

குறைந்த எண்களின் கூடுதலாக் கூறுவதே கடினம் எனினும் இந்த 5 பகா எண்களின் கூடுத்ல் என்பதும் ஒரு சாதனைதான்,இதே போல் மூன்று பகா எண்களின் கூடுதலுக்கு விரிவு படுத்த முடியுமா என்பதுதான் இப்போதைய கேள்வி.

இந்த இரண்டாம் ஊக கருத்து பெரிய எண்களுக்கு எளிதாக பொருந்தும் என ஆய்வாளர்கள் கூறுகிறார்கள்.எனவே சிறிய எண்களுக்கு மட்டுமே கடினம்  என்பதால் கணிணி மூலம் சரிபார்க்ப் பட்டதால் உண்மையாகி விட்டது. எனினும் கணித ரீதியான நிரூபணம் மட்டுமே தேவைப்படுகிற‌து.

ஆய்லரின் முதல் கருத்து நிரூபிப்பது பெரிய எண்களுக்கு மிக கடினம் என்றே ஆய்வாளர்கள் கூறுவதால் இது இன்னும் தீர்க்கப்படாமல் எவ்வளவு நாட்கள் இருக்கும் என்பது கேள்வி!!!!!!!!.

நம் இந்திய  மாணவர்கள் முயற்சிக்கலாம்

" இரண்டுக்கு அதிகமான எந்த ஒரு ஒரு இரட்டை முழு எண்ணையும் இரு பகா எண்களின் கூடுதலாக கூற முடியும்.

[ Strong Goldbach's conjecture] ”

"

தொடர்ச்சியான் பகா எண்களுக்கிடையே உள்ள தொடர்பு கண்டுபிடிக்கப் பட்டால் மட்டுமே இப்புதிர் தீர்க்க இயலும்.அது எப்படியா!. நமக்கு தெரியாது. தெரிந்தால் ஏன் இங்கு மொக்கை போடுகிறோம்!. ஆளை விடுங்கள்.

இக்காணொளி இது போன்ற பல விடயங்களை அலசுகிறது.கண்டு களியுங்கள்!

நன்றி