சில கணிதப் புதிருக்கு விடை காணும் வழிகள்.

வணக்கம் நண்பர்களே,

சில பதிவுகள் நம்மை சிந்திக்க வைக்கும்.அவ்வகையில் சகோதரர் மணிமாறன் இட்ட கணிதப்புதிர்கள் நம்மை சிந்திக்க வைத்தன. கணிதவியலில் அடிப்படை அல்ஜீப்ரா மற்றும் வடிவகணிதம் அடிப்படையில் அமைந்த புதிர்கள் எனினும் அதன் விடை கண்ட விதத்தை பகிர வேண்டும் என்ற ஆவல் ஏற்பட்டது.

இது சகோ மணிமாறன் பதிவு!!!!!!

http://manathiluruthivendumm.blogspot.com/2012/06/blog-post_28.html

***********

எந்த ஒரு கணித,அறிவியல் புதிரையும் தீர்க்க முனையும் முன்பு இக்கருத்துகளை கவனத்தில் கொள்ள வேண்டுகிறேன்.

1. அறிவியல் என்பது இயற்கையின் நிகழ்வுகளை காரணிகளாக பகுத்து ,அவ்ற்றின் இடையே உள்ள தொடர்பை அறிவதாகும்.

2.எந்த புதிரையும் அதன் கேள்வியை(இயற்கை நிகழ்வை)சரியாக விளங்கி அறிய இயலும் விவரங்கள்[known], அறிய வேண்டிய விவரங்கள்[unknown] ,இவை இரண்டின் தொடர்பு (சமன்பாடு)கள்[relationships],விடை இருக்கும் வாய்ப்பு உண்டா? விடை உண்டு எனில் எத்தனை(பல) விடைகளுக்கு வாய்ப்பு உண்டு[existence  of (multiple)solution(s)]?

இந்த அணுகுமுறையில் இந்த இருபுதிர்களையும் தீர்க்க விழைகிறோம்.சந்தேகம் இருப்பின் பின்னூட்டத்தில் விவாதிப்போம்

***********

 1.    சில நாட்களுக்கு முன்பு பேங்க் போயிருந்தபோது சின்ன குழப்பம் ஒன்னு ஏற்பட்டது.நான் காசோலையில் பணத்தை எழுதி காசாளரிடம் கொடுத்தேன். சிறிது நேரத்தில் எனக்கு பணம் அளிக்கப்பட்டது.நான் ஏதோ அவசரத்தில் பணத்தை சட்டைப்பையில் வைத்துவிட்டு எண்ணிப்பார்க்கக் கூட ஞாபகம் இல்லாமல் வெளியே வந்து விட்டேன்.அதிலிருந்து ஐம்பது பைசா எடுத்து பக்கத்தில் உள்ள பெட்டிக்கடையில் சாக்லட் ஒன்று வாங்கி சாப்பிட்டேன். பிறகுதான் பணத்தை சரிபார்க்காமல்விட்டது ஞாபகம் வந்தது.உடனே என் சட்டைப்பையில் உள்ள பணத்தை எண்ணிப் பார்த்தேன்.எனக்கு ஒரே ஆச்சர்யம்.நான் எழுதிக்கொடுத்த பணத்தைவிட மூன்று மடங்கு பணம் அதில் இருந்தது.நான் மிகவும் நேர்மையானவன்(?!) என்பதால் உடனே பேங்க்குக்கு திரும்பிச்சென்று விவரத்தைத் தெரிவித்தேன். பிறகுதான் அது காசாளரின் தவறால் நடந்தது எனத் தெரியவந்தது.அதாவது நான் காசோலையில் எழுதிக்கொடுத்ததை,ரூபாய்க்குப் பதில் காசாகவும்,காசுக்குப் பதில் ரூபாயாகவும் மாற்றிக் கொடுத்திருக்கிறார் எனத் தெரியவந்தது.(உதாரணமாக RS  32.50 என்பதை 50.32 என்று) .தன் தவறுக்கு வருந்தி,என் நேர்மையைப் பாராட்டினார் அந்த காசாளர்.அது சரி......நான் காசோலையில் எவ்வளவு பணம் எழுதிக்கொடுத்தேன்?........(அது உங்களுக்கும் காசாளருக்கும் தான் தெரியும் என மொக்கைப் போடாமல் கண்டுபிடிங்கள் பார்ப்போம்).இது கொஞ்சம் சவாலானது.

இந்த புதிரில் இருந்து அறிய இயலும் விவரங்கள்.

அ) நான் காசோலையின் 'x' அளவு ரூபாய் 'y' அளவு பைசா எழுதுவதற்கு பதில்  y' அளவு ரூபாய் x அளவு  பைசா  என மாற்றி எழுதி விட்டேன்

ஒரு பொருளின் அளவைகள் பயன்படுத்தும் போது ஒரே அலகாக மாற்ற வேண்டும்.இங்கு ரூபாய் பைசாவாக மாற்றப் படுகிறது.பைசா அளவு 99க்கு மேல் இருக்க முடியாது.இரண்டும் மாற்றி எழுதும் வண்னம் இருப்பதால் இரண்டுமே 100க்கு குறைவான் முழு எண் மதிப்பாக இருக்க வேண்டும்.

0=<y,x=<99                          (1)

x,y=integers                           (2)

ஆ) காசோலையில் எழுத வேண்டிய தொகை

x' அளவு ரூ y அளவு பைசாவின் மதிப்பு=100x+y பைசா

 காசோலையில் எழுதிய தொகை 

   y' அளவு ரூ x அளவு பைசாவின் மதிப்பு=100y+x பைசா

இவற்றின் தொடர் காசோலையில் எழுதிய தொகை ல் இருந்து 50 பைசா கழித்தால் காசோலையில் எழுத வேண்டிய தொகை போம் மூன்று மடங்கு. 

3(100x+y)=100y+x-50

299x=97y-50                             (3)

x=(97y-50)/299

ஆகவே தீர்வுகாண ஒரு எக்செல்[excel] சீட் அலது ஒரு நோட்டுப் புத்த்கத்தில்  அல்லது 1 ல் இருந்து 99 வரை மதிப்பிட்டு முழு எண் தீர்வு கிடைக்கிறதா எண் பார்த்தால் முடிந்தது.

y		x
1		0.157191
2		0.481605
3		0.80602
4		1.130435
5		1.454849
6		1.779264
7		2.103679
8		2.428094
9		2.752508
10		3.076923
11		3.401338
12		3.725753
13		4.050167
14		4.374582
15		4.698997
16		5.023411
17		5.347826
18		5.672241
19		5.996656
20		6.32107
21		6.645485
22		6.9699
23		7.294314
24		7.618729
25		7.943144
26		8.267559
27		8.591973
28		8.916388
29		9.240803
30		9.565217
31		9.889632
32		10.21405
33		10.53846
34		10.86288
35		11.18729
36		11.51171
37		11.83612
38		12.16054
39		12.48495
40		12.80936
41		13.13378
42		13.45819
43		13.78261
44		14.10702
45		14.43144
46		14.75585
47		15.08027
48		15.40468
49		15.7291
50		16.05351
51		16.37793
52		16.70234
53		17.02676
54		17.35117
55		17.67559
56		18
57		18.32441
58		18.64883
59		18.97324
60		19.29766
61		19.62207
62		19.94649
63		20.2709
64		20.59532
65		20.91973
66		21.24415
67		21.56856
68		21.89298
69		22.21739
70		22.54181
71		22.86622
72		23.19064
73		23.51505
74		23.83946
75		24.16388
76		24.48829
77		24.81271
78		25.13712
79		25.46154
80		25.78595
81		26.11037
82		26.43478
83		26.7592
84		27.08361
85		27.40803
86		27.73244
87		28.05686
88		28.38127
89		28.70569
90		29.0301
91		29.35452
92		29.67893
93		30.00334
94		30.32776
95		30.65217
96		30.97659
97		31.301
98		31.62542
99		31.94983

x=18

y=56

தீர்வு 18 ரூ 56 பைசா என மேலே கட்டப்பட்ட பெட்டியில் இருந்து அறியலாம். சரிபார்க்க‌


காசொலை எழுதிய தொகை 56 ரூ 18 பைசா

சாக்லேட் 50 பைசா போக 56.180‍- .50=55.68=3*18.58


இப்புதிருக்கு ஒரே ஒரு விடை மட்டுமே.இதே 4 மடங்கு அல்லது எத்தனை மடங்கு என்றாலும் இம்முறையை பயன்படுத்தி தீர்வுகண்டு விடலாம்.

__________________

2.கூம்பு வடிவ பைப்பில் ஐந்து கோலிகள் போடப்பட்டுள்ளது.எல்லா கோலிகளும் பைப்பின் உட்புற சுவரைத் தொட்டுக்கொண்டுள்ளது. மேலேயும் அடியிலும் உள்ள கோலிகளின் ஆரம்(RADIUS) கொடுக்கப்பட்டுள்ளது (ie..18 & 8).

     நடுவில் இருக்கும்  சிவப்பு வண்ணம் கொண்ட கோலியின் ஆரம்(RADIUS ) என்ன?

இப்புதிருக்கான் விடை இங்கெ உள்ளது. இந்த படத்தை கொஞ்சம் பெரிதாக்கி பிதாகரஸ் தேற்ற‌ம் பயன் படுத்தினால் போதும்.

http://www.qbyte.org/puzzles/p037s.html

நம்க்கு தெரிந்த தகவல்கள்

முதல் கோலியின் ஆரம் 8 அலகுகள்.,ஐந்தாவது கோலியின் ஆரம் 18 அலகுகள்.

கூம்பின்பக்கங்கள் கோளத்திற்கு தொடுகோடாக உள்ளன.கோள்ங்கள் ஒன்றை ஒன்று தொட்ட வண்ணம் உள்ளன்.

Fig 1
                                               

                                                                                                                                    Fig 2

எப்படி sin கண்டு பிடிப்பது என்றால் இரண்டாம் படத்தின்  கூம்பின் வலப்புற பக்கத்திற்கு இணையாக் சிறிய வட்டத்தின் மையப்புள்ளியில் இருந்து ஒரு இணைகோடு வரையவேண்டும்.அது பெரிய வட்டத்தின் ஆரத்துக்கு செங்குத்தாக் இருக்கும் .அது ஒரு செங்கோண் முக்கோணத்தை ஏற்படுத்துகிறது.இப்போது கர்ணம்[hypotenuse]  =a+b,

எதிர்ப்பக்கம் =b-a

ஆகவே =m=sin(x)=(b-a)/(a+b)=contant

Rewrite

m.a+m.b=b-a

a(m+1)=b(1-m)

so
b/a=(1+m)/(1-m)=constant.=C


அங்கே உள்ள விள்க்கத்தை எளிமைப் படுத்துகிறேன் இந்த முகோணங்களின் sin,cosine,tan மாறிலி என்பதால் ஆரங்களின் விகிதமும் மாறிலியே.

ஆகவே ஆரங்கள் ஒரு பெருக்கல் தொடர்வரிசையில் இருக்கும்

8, 8*c,8*c^2,8*c^3,8*c^4

ஐந்தாம் ஆரம் 18 என் தெரிவதால் c மதிப்பு எளிதில் காணலாம்.


c^4=18/8=9/4

c^2=3/2

c=sqrt (3/2)=1.2247

ஆகவே ஆரங்கள் முறையே

1.)8.0000
  
2.)  9.7980

3)  12.0000 


4)  14.6969 


5)  18.0000


நன்றி.விவாதங்கள் வரவேற்கப் படுகின்றன.