Saturday, June 30, 2012

சில கணிதப் புதிருக்கு விடை காணும் வழிகள்.



வணக்கம் நண்பர்களே,

சில பதிவுகள் நம்மை சிந்திக்க வைக்கும்.அவ்வகையில் சகோதரர் மணிமாறன் இட்ட கணிதப்புதிர்கள் நம்மை சிந்திக்க வைத்தன. கணிதவியலில் அடிப்படை அல்ஜீப்ரா மற்றும் வடிவகணிதம் அடிப்படையில் அமைந்த புதிர்கள் எனினும் அதன் விடை கண்ட விதத்தை பகிர வேண்டும் என்ற ஆவல் ஏற்பட்டது.

இது சகோ மணிமாறன் பதிவு!!!!!!





***********

எந்த ஒரு கணித,அறிவியல் புதிரையும் தீர்க்க முனையும் முன்பு இக்கருத்துகளை கவனத்தில் கொள்ள வேண்டுகிறேன்.

1. அறிவியல் என்பது இயற்கையின் நிகழ்வுகளை காரணிகளாக பகுத்து ,அவ்ற்றின் இடையே உள்ள தொடர்பை அறிவதாகும்.

2.எந்த புதிரையும் அதன் கேள்வியை(இயற்கை நிகழ்வை)சரியாக விளங்கி அறிய இயலும் விவரங்கள்[known], அறிய வேண்டிய விவரங்கள்[unknown] ,இவை இரண்டின் தொடர்பு (சமன்பாடு)கள்[relationships],விடை இருக்கும் வாய்ப்பு உண்டா? விடை உண்டு எனில் எத்னை(பல) விடைகளுக்கு வாய்ப்பு உண்டு[existence  of (multiple)solution(s)]?

இந்த அணுகுமுறையில் இந்த இருபுதிர்களையும் தீர்க்க விழைகிறோம்.சந்தேகம் இருப்பின் பின்னூட்டத்தில் விவாதிப்போம்




***********

 1.    சில நாட்களுக்கு முன்பு பேங்க் போயிருந்தபோது சின்ன குழப்பம் ஒன்னு ஏற்பட்டது.நான் காசோலையில் பணத்தை எழுதி காசாளரிடம் கொடுத்தேன். சிறிது நேரத்தில் எனக்கு பணம் அளிக்கப்பட்டது.நான் ஏதோ அவசரத்தில் பணத்தை சட்டைப்பையில் வைத்துவிட்டு எண்ணிப்பார்க்கக் கூட ஞாபகம் இல்லாமல் வெளியே வந்து விட்டேன்.அதிலிருந்து ஐம்பது பைசா எடுத்து பக்கத்தில் உள்ள பெட்டிக்கடையில் சாக்லட் ஒன்று வாங்கி சாப்பிட்டேன். பிறகுதான் பணத்தை சரிபார்க்காமல்விட்டது ஞாபகம் வந்தது.உடனே என் சட்டைப்பையில் உள்ள பணத்தை எண்ணிப் பார்த்தேன்.எனக்கு ஒரே ஆச்சர்யம்.நான் எழுதிக்கொடுத்த பணத்தைவிட மூன்று மடங்கு பணம் அதில் இருந்தது.நான் மிகவும் நேர்மையானவன்(?!) என்பதால் உடனே பேங்க்குக்கு திரும்பிச்சென்று விவரத்தைத் தெரிவித்தேன். பிறகுதான் அது காசாளரின் தவறால் நடந்தது எனத் தெரியவந்தது.அதாவது நான் காசோலையில் எழுதிக்கொடுத்ததை,ரூபாய்க்குப் பதில் காசாகவும்,காசுக்குப் பதில் ரூபாயாகவும் மாற்றிக் கொடுத்திருக்கிறார் எனத் தெரியவந்தது.(உதாரணமாக RS  32.50 என்பதை 50.32 என்று) .தன் தவறுக்கு வருந்தி,என் நேர்மையைப் பாராட்டினார் அந்த காசாளர்.அது சரி......நான் காசோலையில் எவ்வளவு பணம் எழுதிக்கொடுத்தேன்?........(அது உங்களுக்கும் காசாளருக்கும் தான் தெரியும் என மொக்கைப் போடாமல் கண்டுபிடிங்கள் பார்ப்போம்).இது கொஞ்சம் சவாலானது.
இந்த புதிரில் இருந்து அறிய இயலும் விவரங்கள்.


) நான் காசோலையின் 'x' அளவு ரூபாய் 'y' அளவு பைசா எழுதுவதற்கு பதில்  y' அளவு ரூபாய் x அளவு  பைசா  என மாற்றி எழுதி விட்டேன்


ஒரு பொருளின் அளவைகள் பயன்படுத்தும் போது ஒரே அலகாக மாற் வேண்டும்.இங்கு ரூபாய் பைசாவாக மாற்ப் படுகிறது.பைசா அளவு 99க்கு மேல் இருக்க முடியாது.இரண்டும் மாற்றி எழுதும் வண்னம் இருப்பதால் இரண்டுமே 100க்கு குறைவான் முழு எண் மதிப்பாக இருக்க வேண்டும்.

0=<y,x=<99                          (1)

x,y=integers                           (2)

ஆ) காசோலையில் எழுத வேண்டிய தொகை
x' அளவு ரூ y அளவு பைசாவின் மதிப்பு=100x+y பைசா

 காசோலையில் எழுதிய தொகை 
   y' அளவு ரூ x அளவு பைசாவின் மதிப்பு=100y+x பைசா

இவற்றின் தொடர் காசோலையில் எழுதிய தொகை ல் இருந்து 50 பைசா கழித்தால் காசோலையில் எழுத வேண்டிய தொகை போம் மூன்று மடங்கு. 

3(100x+y)=100y+x-50

299x=97y-50                             (3)

x=(97y-50)/299

ஆகவே தீர்வுகாண ஒரு எக்செல்[excel] சீட் அலது ஒரு நோட்டுப் புத்த்கத்தில்  அல்லது 1 ல் இருந்து 99 வரை மதிப்பிட்டு முழு எண் தீர்வு கிடைக்கிறதா எண் பார்த்தால் முடிந்தது.

y x
1 0.157191
2 0.481605
3 0.80602
4 1.130435
5 1.454849
6 1.779264
7 2.103679
8 2.428094
9 2.752508
10 3.076923
11 3.401338
12 3.725753
13 4.050167
14 4.374582
15 4.698997
16 5.023411
17 5.347826
18 5.672241
19 5.996656
20 6.32107
21 6.645485
22 6.9699
23 7.294314
24 7.618729
25 7.943144
26 8.267559
27 8.591973
28 8.916388
29 9.240803
30 9.565217
31 9.889632
32 10.21405
33 10.53846
34 10.86288
35 11.18729
36 11.51171
37 11.83612
38 12.16054
39 12.48495
40 12.80936
41 13.13378
42 13.45819
43 13.78261
44 14.10702
45 14.43144
46 14.75585
47 15.08027
48 15.40468
49 15.7291
50 16.05351
51 16.37793
52 16.70234
53 17.02676
54 17.35117
55 17.67559
56 18
57 18.32441
58 18.64883
59 18.97324
60 19.29766
61 19.62207
62 19.94649
63 20.2709
64 20.59532
65 20.91973
66 21.24415
67 21.56856
68 21.89298
69 22.21739
70 22.54181
71 22.86622
72 23.19064
73 23.51505
74 23.83946
75 24.16388
76 24.48829
77 24.81271
78 25.13712
79 25.46154
80 25.78595
81 26.11037
82 26.43478
83 26.7592
84 27.08361
85 27.40803
86 27.73244
87 28.05686
88 28.38127
89 28.70569
90 29.0301
91 29.35452
92 29.67893
93 30.00334
94 30.32776
95 30.65217
96 30.97659
97 31.301
98 31.62542
99 31.94983
x=18

y=56



தீர்வு 18 ரூ 56 பைசா என மேலே கட்டப்பட்ட பெட்டியில் இருந்து அறியலாம். சரிபார்க்க‌


காசொலை எழுதிய தொகை 56 ரூ 18 பைசா

சாக்லேட் 50 பைசா போக 56.180‍- .50=55.68=3*18.58


இப்புதிருக்கு ஒரே ஒரு விடை மட்டுமே.இதே 4 மடங்கு அல்லது எத்தனை மடங்கு என்றாலும் இம்முறையை பயன்படுத்தி தீர்வுகண்டு விடலாம்.



__________________
2.கூம்பு வடிவ பைப்பில் ஐந்து கோலிகள் போடப்பட்டுள்ளது.எல்லா கோலிகளும் பைப்பின் உட்புற சுவரைத் தொட்டுக்கொண்டுள்ளது. மேலேயும் அடியிலும் உள்ள கோலிகளின் ஆரம்(RADIUS) கொடுக்கப்பட்டுள்ளது (ie..18 & 8).
     நடுவில் இருக்கும்  சிவப்பு வண்ணம் கொண்ட கோலியின் ஆரம்(RADIUS ) என்ன?
இப்புதிருக்கான் விடை இங்கெ உள்ளது. இந்த படத்தை கொஞ்சம் பெரிதாக்கி பிதாகரஸ் தேற்ற‌ம் பயன் படுத்தினால் போதும்.


நம்க்கு தெரிந்த தகவல்கள்

முதல் கோலியின் ஆரம் 8 அலகுகள்.,ஐந்தாவது கோலியின் ஆரம் 18 அலகுகள்.

கூம்பின்பக்கங்கள் கோளத்திற்கு தொடுகோடாக உள்ளன.கோள்ங்கள் ஒன்றை ஒன்று தொட்ட வண்ணம் உள்ளன்.
Close-up cross section of two adjacent marbles in a conical funnel, one vertically above the other. A green triangle has one vertex at the center of the larger marble. From this center, a line is produced horizontally to the funnel wall, meeting at the second vertex. A second line is produced at right angles to the (same) funnel wall, meeting at the third vertex. A similar green triangle is drawn for the smaller marble.
Cross section of five marbles in a conical funnel.


Fig 1
                                               

                                                                                                                                    Fig 2

எப்படி sin கண்டு பிடிப்பது என்றால் இரண்டாம் படத்தின்  கூம்பின் வலப்புற பக்கத்திற்கு இணையாக் சிறிய வட்டத்தின் மையப்புள்ளியில் இருந்து ஒரு இணைகோடு வரையவேண்டும்.அது பெரிய வட்டத்தின் ஆரத்துக்கு செங்குத்தாக் இருக்கும் .அது ஒரு செங்கோண் முக்கோணத்தை ஏற்படுத்துகிறது.இப்போது கர்ணம்[hypotenuse]  =a+b,
எதிர்ப்பக்கம் =b-a

ஆகவே =m=sin(x)=(b-a)/(a+b)=contant

Rewrite

m.a+m.b=b-a

a(m+1)=b(1-m)

so
b/a=(1+m)/(1-m)=constant.=C


அங்கே உள்ள விள்க்கத்தை எளிமைப் படுத்துகிறேன் இந்த முகோணங்களின் sin,cosine,tan மாறிலி என்பதால் ஆரங்களின் விகிதமும் மாறிலியே.

ஆகவே ஆரங்கள் ஒரு பெருக்கல் தொடர்வரிசையில் இருக்கும்

8, 8*c,8*c^2,8*c^3,8*c^4

ஐந்தாம் ஆரம் 18 என் தெரிவதால் c மதிப்பு எளிதில் காணலாம்.


c^4=18/8=9/4

c^2=3/2

c=sqrt (3/2)=1.2247

ஆகவே ஆரங்கள் முறையே

1.)8.0000
  
2.)  9.7980

3)  12.0000 


4)  14.6969 


5)  18.0000


நன்றி.விவாதங்கள் வரவேற்கப் படுகின்றன.



18 comments:

  1. ஐயையோ கணிதமா ? எனக்குத் தலைச் சுத்துமே !!! இருந்தாலும் முயற்சித்துப் பார்த்தேன். நல்லா இருக்குது !

    ReplyDelete
    Replies
    1. வாங்க சகோ இக்பால்,
      அடிப்படை கணிதம் சார் புதிர்கள் அனைவரும் தீர்க்க இயலும்.கொஞ்சம் பயிற்சிதான் தேவை.இபோது இந்த இரு புதிர்களின் வேறு வகைகளை கண்டால் உங்களால் நிச்சயம் தீர்வுக்கு முயற்சி செய்ய இயலும். இம்மாதிரி ஒரு 100 வகைகளை அறிந்தால் நீங்களே கணிதப் அரசன்.

      ந‌ன்றி

      Delete
  2. சார்வாகனனின் முயற்சிக்கு வாழ்த்துக்கள்.
    வில்லவன் கோதை

    ReplyDelete
    Replies
    1. வாங்க சகோ பாண்டிய‌ன்ஜி
      க‌ருத்துக்கும்,வாழ்த்துக்கும் ந‌ன்றி.

      Delete
  3. //விவாதங்கள் வரவேற்கப் படுகின்றன.//

    ஆனாலும் உனக்கு ரொம்ப நக்கலு தலை! கணக்கை பார்த்துமே அவனவன் டவுசர் அவுந்ததுகூட தெரியாம தெறிச்சு ஓடிக்கிட்டிருக்கான். இதுல விவாதம் வேறயா?

    இருந்தாலும் நல்ல விளக்கிருந்தீங்க, நன்றி!

    ReplyDelete
    Replies
    1. வாங்க சகோ நந்தவனத்தான்,
      சகோ நந்தவன(?)த்தான்,
      வாழ்த்துக்கு நன்றி.லொள்லு யாருக்கு என்பதை அறிவார்ந்த தமிழ் சமூகம் அறியும்.
      I like your comment Hi Hi

      நன்றி

      Delete
    2. வாங்க சகோ வரலாற்று சுவடுகள்
      பொதுவாழ்வில்(??) இம்மாதிரி விடயங்கள் மிக சாதாரணம் என்பதால் நம் பணியை தொடர்கிறோம்.
      நன்றி

      Delete
  4. கணக்கில் பல சந்தேகங்கள் உண்டு.

    என் மின்அஞ்சல் devapriyasolomon@gmail.com
    தங்களை தொடர்பு கொள்ளலாம் எனில் அஞ்சல் செய்யுங்கள்.

    ReplyDelete
    Replies
    1. வாங்க சகோ தேவப்பிரியா,
      உங்களை தொடர்பு கொள்கிறேன்.
      my e mail saarvaakan@gmail.com
      நன்றி

      Delete
  5. நல்ல விளக்கம்,

    //நன்றி.விவாதங்கள் வரவேற்கப் படுகின்றன//
    யாரும் வரமாட்டார்கள் என்ற நம்பிக்கை!!!. அப்படியே வந்தாலும் மற்றவர்களுக்கு விளங்கின மாதிரிதான்.

    நன்றி

    ReplyDelete
    Replies
    1. வாங்க சகோ நரேன்,
      இப்புதிர்களில் இருந்து பல்வேறு நீட்சிகள்,மாற்று வகைகள் கொண்டு வர முடியும்.ஒருவேளை இது குறித்து ,அல்லது மாற்ற்த் தீர்வு பற்றி விவாதம் வரலாம் என எதிர்பார்த்தேன்.

      நன்றி

      Delete
  6. Replies
    1. வாங்க சகோ குரு நலமா,
      இரண்டாம் புதிரை மாண்வர்களிடம் வடிவ கணிதமாக வரைய சொல்லலாம்.

      ஒரு செங்கோண முக்கோணம் வரைய வேண்டும்.அதனை சரிவகங்களாக‌
      இரு செங்குத்து பக்கங்க்ள்= a,b சரிவு பக்கம்=a+b ,கிடைமட்ட பக்கம் square root of(4.a.b)
      sin(x)=(b-a)/(a+b)
      You can try with your students
      Thank you

      Delete
  7. நல்லாத்தான் இருக்கு ஆனா புரியல...நல்லாயிருங்க நூறு வயசுக்கு...

    இனியவன்.

    ReplyDelete
  8. என்னுடைய feedburner ஒடை மாற்றப்பட்டு விட்டது. தயவுச் செய்து அதனை சரிசெய்துக் கொள்ளுங்கள் ....!!!

    ReplyDelete