சமரசம் உலாவும் இடமே!!!!: உண்மை அறியும் கணிதம்(Bayesian inference):Part 2

Thursday, December 6, 2012

உண்மை அறியும் கணிதம்(Bayesian inference):Part 2

வணக்கம் நண்பர்களே,

சென்ற பகுதியில் கணிதத்தின் ஒரு முக்கிய பிரிவான நிகழ்தகவு பற்றி சில முக்கிய விவரங்கள் அறிந்தோம்.நிபந்தனை நிகழ்தகவு என்பதுதான் இந்த உண்மை அறியும் கணிதத்திற்கு அடிப்படை எனவும் அறிந்தோம்.

அறிவியல் என்பதும் அளவீட்டு சான்றுகளின் [ measured data]மீதான விளக்கம். இந்த சான்றுகளுக்கு பொருந்தும் வண்ணம் கணிதரீதியாக தொடர்பு பொருத்துதலில் விதிகள் உருவாக்கப்படுகின்றன்.சான்றுகளுக்கு பல தொடர்புகள் கணிதரீதியாக சாத்தியம் என்பதால் ,தொடர்ந்து கிடைக்கும் சான்றுகளுக்கு எந்த விதி அதிகம் பொருந்துகிறதோ அதுவே ஏற்கப்படும். ஆகவே புதிய சான்றின் மீதான விளக்க விதிகள் முந்தைய(ஏற்கெனவே உள்ள) சான்றுகளையும் மெய்ப்பிக்க வேண்டும்.

சான்றுகள் மாறாது. ஆனால் [சான்றுகளுக்கு ஏற்ப]விதிகள் மாறும்.இப்போது ஏன் விதி விலக்குகள் இருக்கின்றன என புரிய முடியும்.

நிபந்தனை நிகழ்வு என்பதை நினைவு படுத்துவோம்.ஏற்கெனவே உள்ள சான்றுகள் அ1,அ2,அ3........அ100 ஆகியவற்றுக்கு விதிகள் க1,க2,க3 ஆகிய மூன்று விதிகள் பொருந்துகிறது,இதில் க1 பிற விதிகளை விட அதிகம் பொருந்துவதால் அதுவே இப்போதைய சான்று விளக்க(அறிவியல்) கொள்கை.

புதிய சான்று ஆ1 கிடைக்கிறது.இப்போது ,புதிய சான்று உன்மையாக இருக்கும் பட்சத்தில் விதி க1 எந்த அளவு சரியாக இருக்க முடியும் என்பதே பயேசியன் உண்மை அறியும் முறை ஆகும்.

ஒரு விடயத்தை எ.கா மூலம் விளக்குவதே மிக சரியான கற்பித்தல் முறை ஆகும். எனினும் இன்னும் கொஞ்சம் அடிப்படை விவரங்கள் கற்று எ.கா செல்வோம்.இப்பதிவிலும் அடிப்படைகளே கற்போம்,அடுத்த பதிவில் ஒரு எளிய எ.கா பார்த்து முடித்து விடலாம். இது பல்கலைக் கழகங்களில் ஒரு ஆறுமாதம்,அல்லது ஒரு வருட பாடத்திட்டமாக கற்பிக்கப்படுகிறது.இந்த முறைக்கு பலவித மென்பொருள்களும் உண்டு.

கணிதத்தில் பலவிதமான இலத்தீன்,கிரேக்க எழுத்துகள் கொண்ட,சூத்திரங்கள்,தேற்றங்கள் கொண்டு எழுதி ஒரு சாமான்யன் படிக்க இயலாமல் போவது மிகவும் வருத்தமான செயல். ஆனால் பெரும்பாலும் பரிசோதனையின் போது எண்கள் [quantitative]மீதே பரிசோதனை நடத்தப்படும்.ஒரு எண் இன்னொரு எண் ஆவதே கணிதம் என்பதை நாம் புரிந்தால் கணிதம் எளிதாகிவிடும்.இயற்கை இயல்பாக எளிதாக செயலாற்றுவதே,நம் புரிதலில் விதிகளாக பரிணமிக்கிறது.

சரி சென்ற பதிவில் நிகழ்தகவு அடிப்படைகள் அறிந்தோம். இப்பதிவில் பயேஸ் [Bayes Theorem]தேற்றம் அல்லது விதி அறிவோம்.

http://en.wikipedia.org/wiki/Bayes%27_theorem

சென்ற பதிவில் B என்னும் சான்று உண்மையாக இருக்கும் பட்சத்தில் Aஎன்னும் நிகழ்வு உண்மையாக இருக்கும் நிகழ்த்கவு[P(A/B)] ஆகிய நிபந்தனை நிகழ்தகவு குறித்து பார்த்தோம்.

$P(A|B)=\frac{P(A \cap B)}{P(B)}, \text{ if } P(B) \neq 0, \!$ (1)

சென்ற பதிவில் A என்னும் சான்று உண்மையாக இருக்கும் பட்சத்தில் B என்னும் நிகழ்வு உண்மையாக இருக்கும் நிகழ்த்கவு[P(B/A)] ஆகிய நிபந்தனை நிகழ்தகவு அதே சுத்திரத்தை மாற்றி எழுதினால்

$P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}, \text{ if } P(A) \neq 0, \!$ (2)
இப்போது இரு சமன்பாடுகளையும் வகுத்தால்

$\implies P(A \cap B) = P(A|B)\, P(B) = P(B|A)\, P(A), \!$

$\implies P(A|B) = \frac{P(B|A)\,P(A)}{P(B)}, \text{ if } P(B) \neq 0.$
ஆகவே நிபந்தனை நிகழ்தக்வுகள் தொடர்புடையவை.இதுவே பயேஸ் தேற்றம் என அழைக்கப்படுகிறது.

இப்போது இதற்கு ஒரு எ.கா பார்ப்போம்.

ஒரு பூச்சியியல் வல்லுனர், ஒரு புதிய சிற்றின[species] வகை வண்டு மீது தனது வகைப்படுத்தல் [classification] ஆய்வை மேற்கொள்கிறார்.இந்த பிரிவு சிற்றின வண்டுகளில் 98% முதுகில் குறிப்பிட்ட அடையாளம்(அமைப்பு) கொண்டு இருக்கும்.இப்பிரிவு அல்லாத சாதாரண[Common] வண்டுகளிலும் இந்த அடையாளம் 5% காணப்படுகிறது.

மொத்த வண்டுகளின் எண்ணிக்கையில் இந்த குறிப்பிட்ட வகை[Rare] வண்டு 0.1% மட்டுமே உள்ளது.ஆகவே ஒரு வண்டு அந்த குறிப்பிட்ட வகையை சேர்ந்தாக இருக்கும் நிகழ்தகவு என்ன???

சரி எப்போதும் கணிதத்தில்(அறிவியலில்) கொடுக்கப்பட்ட விவரங்களை பட்டியல் இட்டு, அது தேவைப்படும் விடயத்தை கண்க்கிட போதுமானதா என்பதை முதலில் பார்க்கவேண்டும்.

ஒரு வண்டு குறிப்பிட்ட பிரிவு(R) என்பதற்கு 0.1% வாய்ப்பும், சேராமல் இருக்க (C)99.99% வாய்ப்பும் இருக்கிறது. அதாவது
R=Rare

C=Common

P=Pattern=அடையாளம்(அமைப்பு)

P(R)=0.1% P(C)=99.99%

குறிப்பிட்ட வகை வண்டாக(R) இருந்து, முதுகில் அடையாளம் இருக்கும் (P:)நிகழ்தகவு

P(P/R)=98%

குறிப்பிட்ட வகை வண்டாக(R) இருந்து, முதுகில் அடையாளம் இல்லாமல் இருக்கும் (P')நிகழ்தகவு

P(P'/R)=2%

சாதாரண[Common] வகை வண்டாக(C) இருந்து, முதுகில் அடையாளம் இருக்கும் (P:)நிகழ்தகவு

P(P/C)=5%

சாதாரண[Common] வகை வண்டாக(C) இருந்து, முதுகில் அடையாளம் இல்லாமல் இருக்கும் (P')நிகழ்தகவு

P(P'/C)=95%

P(R and P)=P(R)*P(P/R)=0.1%*98%=0.098%

P(R and P')=P(R)*P(P/R)=0.1%*2=0.002%

P(C and P)=P(C)*P(P/C)=99.99%*5%=4.995%

P(C and P')=P(C)*P(P/C)=99.99%*95%=94.905%

வெட்டு என்பது இரண்டும் ஒரு சேர நிகழ்வு என அறிவோம்.

இப்போது முதுகில் அமைப்பு இருந்து, குறிப்பிட்ட வகை வண்டாக் இருக்கும் நிபந்த்னை நிகழ்தகவு

$\begin{align}P(\text{Rare}|\text{Pattern}) &= \frac{P(\text{Pattern}|\text{Rare})P(\text{Rare})} {P(\text{Pattern}|\text{Rare})P(\text{Rare}) \, + \, P(\text{Pattern}|\text{Common})P(\text{Common})} \\[8pt] &= \frac{0.98 \times 0.001} {0.98 \times 0.001 + 0.05 \times 0.999} \\[8pt] &\approx 1.9\%. \end{align}$

மேலே சொன்ன சூத்திரத்தில் பகுதி[numerator] அடையாளமும், குறிப்பிடவகை வண்டு ஆகவும் இருக்கும் வாய்ப்பு.=P(P and R). தொகுதி, அந்த அமைப்பு இருப்பதன் மொத்த நிகழ்தகவு =P(P).

P(R/P)=P(P and R)/P(P)

மொத்த அமைப்பின் நிகழ்த்கவு எப்படி கண்டு பிடித்தோம்?. சிந்திக்க மாட்டீர்களா? அறிந்தவர்கள் விள்க்குங்கள்.பின்ன்னூட்டத்தில் விவாதிப்போம்!!

இப்பதிவில் பயேஸ் தேற்றம் ஒரு எ.கா உடன் அறிந்தோம். அடுத்த பதிவில் என்ன????

நன்றி!!!!

20 comments:

மதுரை சரவணன்December 7, 2012 at 12:08 AM
thanks for sharing.
ReplyDelete
Replies
UnknownDecember 7, 2012 at 11:14 AM
எதற்காக இந்த கணிதம் ,பத்தாம் வகுப்பு மாணவர்களுக்கா ?இல்லை பரிணமா த்தில் கொண்டு முடிக்கவா? தெரியவில்லை
ReplyDelete
Replies
ராவணன்December 7, 2012 at 8:49 PM
கணக்கெல்லாம் சரிதான்....

ஆனா.....எங்க முனியாண்டிசாமிக்கு தெரியாததா? அவன் நினைத்தால் கோடு போடுவான்...இல்லை புள்ளி வைப்பான்.

எங்கள் முனியாண்டிசாமியே அனைத்தையும் செய்யும்போது கணக்கு எதுக்கு?

உங்களின் கணக்குப் புத்தகத்தைவிட பெரிய....இல்லை...சிறந்த புத்தகத்தை எங்களுக்குக் கொடுத்துள்ளான்.
ReplyDelete
Replies
UnknownDecember 8, 2012 at 12:49 PM
வணக்கம் சகோ.

நல்ல கணக்கு புரியவில்லை என்றாலும் வரவேற்போம்,புரிந்து கொள்ள முயற்சிப்போம்,பாராட்டுவோம் இதுவே நமது நிலை. எந்த மதபுத்தகத்திலாவது இப்படிப்பட்ட கணக்குவழக்குகள் உண்டா? ஏன் இல்லாமல் போனது?புரியாத புதிர்.!!!!
ReplyDelete
Replies
GuruDecember 8, 2012 at 6:53 PM
Thank u sir
ReplyDelete
Replies
UnknownDecember 9, 2012 at 8:48 AM

இஸ்ரேலுக்கு வக்காலத்து வாங்கும் நியாயம் தெரியாதவர்களின் கவனத்திற்கு ,,,

பாலஸ்தீனத்தில் தொடரும் அவலம்...
By சு. வெங்கடேஸ்வரன்
First Published : 08 December 2012 02:34 AM IST Dinamani
பாலஸ்தீனத்துடனான அமைதிப் பேச்சுவார்த்தையைப் புதைக்கும் சவப்பெட்டியின் கடைசி ஆணியையும் அடித்துவிட்டது இஸ்ரேல். கிழக்கு ஜெருசலேம், மேற்குக்கரைப் பகுதியில் புதிதாக 3 ஆயிரம் வீடுகளைக் கட்டி யூதர்களை அங்கு குடியமர்த்துவதற்கான நடவடிக்கைகளைத் தொடங்கிவிட்டது.

பாலஸ்தீனத்தை இறையாண்மைபெற்ற தனிநாடாக ஐ.நா. அங்கீகரித்ததை ஏற்றுக்கொள்ள முடியாத ஆத்திரத்தின் வெளிப்பாடாகவே இஸ்ரேலின் இந்த நடவடிக்கை அமைந்துள்ளது. பாலஸ்தீனத்துக்கு ஐ.நா.வின் அங்கீகாரம் கிடைத்த அடுத்த நாளே இந்த குடியேற்றத் திட்டத்தை அறிவித்துவிட்டது.

இந்த நடவடிக்கை மூலம், ஏற்கெனவே பதற்றம் அதிகமுள்ள பாலஸ்தீனப் பகுதியில் அடுத்ததொரு போருக்கு அழைப்பை விடுத்துள்ளது இஸ்ரேல். ஆனால் இந்த முறை அமெரிக்கா மற்றும் ஐரோப்பிய நாடுகளின் ஆசி இஸ்ரேலுக்குக் கிடைக்கவில்லை என்பது மட்டும் ஒரே ஆறுதல். எப்போதுமே ஆதரவளிக்கும் அமெரிக்காகூட இந்தப் புதிய குடியமர்வு விஷயத்தில் இஸ்ரேலை ஆதரிக்கவில்லை. தனது முடிவை இஸ்ரேல் மறுபரிசீலனை செய்ய வேண்டுமென்றே கூறியுள்ளது.

பிரிட்டன், பிரான்ஸ், ஸ்பெயின், ஸ்வீடன், டென்மார்க் உள்ளிட்ட ஐரோப்பிய நாடுகளும் இஸ்ரேலுக்கு எதிர்ப்பு தெரிவித்துள்ளன.

ரஷியா, ஜெர்மனி உள்ளிட்ட நாடுகளும், ஐ.நா.வும் கூட இஸ்ரேலின் இப்போதைய நடவடிக்கைகளைக் கண்டித்துள்ளன. ஆனால் பாலஸ்தீனர்களுடன் அடுத்த மோதலுக்குத் தயாராகிவிட்ட இஸ்ரேல் இதைச் சிறிதும் செவி மடுக்கவில்லை.

இஸ்ரேல் மேற்கொண்டுள்ள முயற்சி மேற்குக் கரைப் பகுதியை இரு துண்டுகளாகப் பிரிப்பதுடன், பாலஸ்தீனர்களை ஜெருசலேமில் இருந்து முற்றிலுமாகத் துண்டித்துவிடும் வகையில் உள்ளது. இது பாலஸ்தீனர்கள் மத்தியில் கொதிப்பை ஏற்படுத்தியுள்ளது.

இது தவிர பாலஸ்தீனர்களுடனான தங்கள் வன்மத்தை நேரடியாகவே வெளிப்படுத்தியுள்ளது இஸ்ரேல். "பாலஸ்தீனத்தைத் தனிநாடு என்று ஐக்கிய நாடுகள் சபை அங்கீகரித்துவிட்ட நிலையில் இஸ்ரேலைப் பாதுகாத்துக் கொள்ளவும், எங்களை வலிமைப்படுத்திக் கொள்ளவும் நடவடிக்கை எடுக்கப்பட வேண்டியது கட்டாயமாகிவிட்டது' என்று அந்நாடு அறிவித்துள்ளது.

ஏற்கெனவே "பாலஸ்தீனம்' என்ற வார்த்தையையே வெறுக்கும் இஸ்ரேல், இப்போது அதற்குத் தனிநாடு அந்தஸ்து அளிக்கப்பட்டுள்ளதால் வெறுப்பின் உச்சிக்கே சென்றுவிட்டது.

பாலஸ்தீனம் - இஸ்ரேல் பிரச்னை என்பது இருநாடுகள் தொடர்புடையது மட்டுமல்ல, அதையும் தாண்டி 3 மதங்கள், இனம், அரசியல், மக்களின் உணர்வுகள் உள்ளிட்ட பல்வேறு பரிமாணங்களை உள்ளடக்கியது. இவற்றுக்கு நடுவே அமெரிக்கா உள்ளிட்ட சர்வதேச நாடுகளின் குறுக்கீடும் உண்டு.

இஸ்ரேல் இதுபோன்று அடாவடி நடவடிக்கைகளை மேற்கொள்வது புதிதல்ல. 1967-ஆம் ஆண்டு மேற்குக் கரை, கிழக்கு ஜெருசலேமின் ஒருபகுதியை வலுக்கட்டாயமாக ஆக்கிரமித்த பிறகு பல்வேறு கட்டமாக சில லட்சம் யூதர்களை அங்கு குடியேற்றியுள்ளது.

சர்வதேச சட்டப்படி இது ஏற்றுக் கொள்ளக் கூடியதல்ல என்றாலும், அதனைத் தட்டிக் கேட்க யாருமில்லை. ஏனெனில் அமெரிக்கா, மேற்கத்திய நாடுகளின் ஆதரவு இஸ்ரேலுக்கு உள்ளதே முக்கிய காரணம். சொந்த மண்ணிலேயே அகதிகளாக மாறிவிட்ட பாலஸ்தீனர்களுக்கு, ஐ.நா.வின் அங்கீகாரம் புதிய நம்பிக்கையை அளித்தது. ஆனால் அதனைக் தகர்க்க களமிறங்கிவிட்டது இஸ்ரேல்.

இஸ்ரேலின் இந்த நடவடிக்கைக்கு பாலஸ்தீனத் தலைவர்கள் கடும் எதிர்ப்புத் தெரிவித்துள்ளனர். அதே நேரத்தில் மீண்டும் இஸ்ரேல் மீது தாக்குதலுக்குத் தயாராகி வருகின்றன பாலஸ்தீனத்துக்காகப் போராடும் ஹமாஸ் உள்ளிட்ட ஆயுதம் ஏந்தும் குழுக்கள்.

ஹமாஸ் கட்டுப்பாட்டில் உள்ள காஸô பகுதியில் இருந்து விரைவிலேயே இஸ்ரேல் மீது தாக்குதல் நடத்தப்பட வாய்ப்பு உள்ளது. இஸ்ரேல் எதிர்பார்ப்பதும் இதைத்தான்.

சர்வதேச அமைப்பான ஐக்கிய நாடுகள் சபையே பாலஸ்தீனத்தை அங்கீகரித்துள்ள நிலையில், இனியும் பாலஸ்தீனர்களைப் புறந்தள்ளுவது மனிதநேயத்துக்கு எதிரான செயல். இது தொடர்வதற்கு உலக சமுதாயம் ஒருபோதும் அனுமதிக்கக் கூடாது.
ReplyDelete
Replies
UnknownDecember 9, 2012 at 12:21 PM
சாறு////மூமின் பெரும்பானமை நாடுகளில் வாழும் சிறுபானமை காஃபிர்களுக்கும் இதே உரிமையை வேண்டி காஃபிர் வெங்கடேஸ்வரன் போல் ஒரு மூமின் எழுத முடியாது.
எழுதி விட்டு ஊரில் குடியிருக்கவும் முடியாது!!!///

மலேசியாவில் .சென்று பாருங்கள்
சாறு இஸ்ரேலின் தீவிரவாத நடவடிக்கைகளை விட ஹமாஸ் செய்த தீவிரவாத செயல்பாடுகளை சொல்லுங்கள்
ReplyDelete
Replies
UnknownDecember 9, 2012 at 10:20 PM
சாறு ஹிந்த்ராப் என்பது நம்ம ஊர் சங்கபரிவார் வகையறாக்கள் .சாமிநாதன் என்ற தமிழ் வம்சவளிக்காரர்கள் எல்லாம் அமைச்சர்களாக இருந்தார்களே
சாரு ,மலேசிய மற்ற இந்து தளங்களைப் பாருங்கள்
மலேசியாவில் குடியேறிய 7 சதவீத ஹிந்துக்களுக்கு அந்த முஸ்லிம் அரசு அளிக்கும் உரிமைகள் ,பூர்விக குடிகளாக வாழ்ந்து கொண்டிருக்கும் 15 சதவீத முஸ்லிம்களுக்கு மதசார்பற்ற அரசில் இல்லை என்பது நன்றாக புரியும்

http://en.wikipedia.org/wiki/Cow_head_protests
ReplyDelete
Replies
UnknownDecember 9, 2012 at 10:22 PM
சாறு///1.எப்போதெல்லாம் ஒரு மூமின் தவறு செய்து கையும் களவுமாக மறுக்கவே முடியாதபடி மாட்டும் போது, தாவாவாதிகள் அதனை பற்றி எதையும் சொல்லக் கூடாது!!

சில தாவா எதிர்ப்பு காஃபிர்கள் இந்த செய்தியை பரப்பும் போது மறுக்க முடியாது என்பதால், மாட்டிய குற்றவாளிகள் செய்வது குரான் ,ஹதிதில் இல்லை என மறுக்க வேண்டும்.///
எப்போதெல்லாம் ஒரு முஸ்லிம் தவறு செய்யும் பொழுது அதை ஆதாரமாக கக்கத்தில் தூக்கி வைத்துக் கொண்டு என்னவோ இஸ்லாமும் முஹம்மது நபி [ஸல்] அவர்களும் தவறு செய்ததற்கு ஆதாரம் கிடைத்து விட்டது போல ஓடோடி பதிவார்கள் .மற்ற நிராகரிப்பு பதிவர்கள் அய்யய்யோ நான் எழுத நினைத்திருந்தேன் நீங்கள் முந்திக் கொண்டீர்கள் தந்தியடித்துக் கொண்டிருப்பார்கள் .
///உங்களில் ஒருவருக்கு அவரின் தந்தை, அவரின் குழந்தைகள், ஏனைய மக்கள் அனைவரையும் விட நான் மிக அன்பானவராகும் வரை அவர் (உண்மையான) இறைநம்பிக்கையாளராக மாட்டார்' என்று இறைத்தூதர்(ஸல்) அவர்கள் கூறினார்கள்: என அனஸ்(ரலி) அறிவித்தார். ///

இது எதற்காக சொல்லப்பட்டுள்ளது என்றால் தனது குடும்பத்தினரைவிட நபி[ஸல்] அவர்கள் மீது அன்பு வைத்தால் தான் நீதி நேர்மையுடன் செயல்பட முடியும்.தனது குடும்பத்தினர் தவறு செய்தாலும் அந்த தவறுகளை குர்ஆன் ,ஹதித் அடைப்படையில் தண்டிக்க முடியும் .எனது மகள் பாத்திமாவே ஆனாலும் திருடினால் கையை வெட்டுவேன் என்று முகம்மது நபி ஸல் சொன்னார்கள் என்றால் நீதி அனைவருக்கும் சமமாக கிடைக்க வேண்டும் என்ற காரனர்த்திர்க்காகவே .
இந்த ஹதிதுக்கும் இந்த பதிவுக்கும் எவ்வித தொடர்புள் இல்லை .இருந்தாலும் சார்வாகன் கூகுள் சர்ச் போல குழந்தை என்று சொன்னவுடன் அதற்கு ரிலேட்டான அத்தனை குரான் வசனங்களையும் ஹதித்களையும் கொண்டு வந்துவிடுவார்
ReplyDelete
Replies

Add comment

சமரசம் உலாவும் இடமே!!!!

Thursday, December 6, 2012

உண்மை அறியும் கணிதம்(Bayesian inference):Part 2

20 comments:

Earth Clock

visitors