பூமிப் பந்து,பெரிய வட்டம், பரப்பளவு அறிதல்.

வணக்கம் நண்பர்களே,

பூமி பற்றிய சில கணக்கீடுகள் சார்பியல் அறியவும் உதவும் என்பதும், பயன்படு சார் கணிதம் பலரிடமும் ஆர்வத்தை ஊட்டும் என்பதாலும் இப்பதிவு.

ஏற்கெனெவே பூமியின் மேல் உள்ள இரு புள்ளிகள் இடையே உள்ள குறைந்த பட்ச தூரம் அறியும் சூத்திரம், அதன் வரையறை ஏற்கெனவே பார்த்தோம். இப்போது பூமியின் மேல் சில இடங்கள் இருப்பின் அவைகள் இணைக்கும் இடத்தின் பரப்பினை அறிவது எப்படி என் இப்பதிவில் அறிவோம்.

பூமியின் ஒரு இடத்தை குறிக்க அட்சக் கோடு[latitude] ,தீர்க்க கோடு[longitude] கோண அளவாக குறிப்பிடப் படுகிறது என முந்தைய பதிவில் அறிந்தோம்.பரப்பு எனில் குறைந்த பட்சம் நேர் கோட்டில் இல்லாத மூன்று புள்ளிகள் வேண்டும். முக்கோணமே குறைந்த புள்ளி உடைய பரப்பு ஆகும்.ஆகவே ஒரு பல கோடுகளால் அடைக்கப்படும் ஒரு பரப்பை முக்கோணங்களாக பிரிக்க வேண்டும். முக்கோணத்தின் பரப்புக்கு மட்டும் பதிவில் சூத்திரம் காண போகிறோம். 

ஒரு கோளத்தின் வரையப்படும் முக்கோணம் ,கோள முக்கோணம்{Spherical Triangle ] எனப்படுகிறது.

a,b,c=முக்கோண பக்க அளவுகள்[In radians]

A,B,C=முக்கோண கோண‌ அளவுகள்

A கோண எதிர்பக்கம்=a

B கோண எதிர்பக்கம்=b

C கோண எதிர்பக்கம்=c

இந்த கோள முக்கோணம் மூன்று பெரிய வட்டங்களின் வெட்டினால் ஏற்படும் என்பதை உணர இப்படம் பாருங்கள்.



ஒரு கோளத்தின் மீதான இரு புள்ளிகளிக்கு இடையே உள்ள குறைந்த பட்ச தூரம் பெரிய வட்ட வில் என்பதை முந்தைய பதிவில் இருந்து ஞாபகப் படுத்திக் கொள்ளவும். இந்த வட்டங்கள் முழுக் கோளத்தை 8 பகுதிகளாக பிரிக்கின்றன. இன்னும் புரிய காணொளி பாருங்கள்.

இதில் மூன்று [Di-angle]வட்டவில்கள்[AA',BB',CC'][Lune] இருமுறையும், இரு முக்கோணங்கள்[ABC,A'B'C'] இருமுறையும் வருகின்றன.

The triangles ABC,A''B'C' are identical so areas are equal.

S_sphere=2S_AA’+2S_AA’+2S_CC’- 4S_ABC

S_sphere =4πR²

Lune Area= Angle[in radian]*2.R<sup>2

So</sup>
S_AA’=Angle A[in radian]*2R²

S_BB’=Angle B[in radian]*2R²

S_CC’=Angle C[in radian]*2R²

Area of ABC= [A+B+C-π]* R²

A+B+C-π=E= Spherical Excess

ஒரு கோள முக்கோணத்தில் மூன்று கோணங்களின் கூடுதல் 180 டிகிரிக்கு[π radians] அதிகமாக இருக்கும் அதிகபட்சம் 900[5π radians] வரை இருக்க வாய்ப்பு உண்டு.

E=

எப்போது கோள முக்கோணத்தின் கோணங்களின் கூடுதல் அதிகபட்சமாக இருக்கும் என சிந்திக்க மாட்டீர்களா??

ஆகவே கோள முக்கோணத்தின் மூன்று கோணங்கள் அறிந்தால் அதன் பரப்பு அறிய முடியும். ஆனால் நம்மிடம் மூன்று புள்ளிகளுக்கும் அட்சக் கோடு,தீர்க்க கோடு கோள அளவுகள் மட்டுமே உண்டு. எப்படி கோணம் காண்பது?

சென்றபதிவில் ஒரு கோளத்தின் மீது இருபுள்ளிகளின் இடையே உள்ள தூரம் காணும் முறை கற்றோம்.அது கொண்டு தூரம் a,b,c[in radians], கண்டுபிடித்தால் இந்த சூத்திரங்கள் கொண்டு ,கோணம்[A,B,C] காண முடியும். 

The Law of Cosines (central angles):

1. cos(a) = cos(b)cos(c) + sin(b)sin(c)cos(A)

2. cos(b) = cos(a)cos(c) + sin(a)sin(c)cos(B)

3. cos(c) = cos(a)cos(b) + sin(a)sin(b)cos(C)

அல்லது நேரடியாக கோள கோண மிகுதி(Spherical Excess] E காண இச்சூத்திரம் பயன்படுத்தலாம்.

tan(E/4) = sqrt[(tan(s/2)*tan((s-a)/2)*tan((s-b)/2)*tan((s-c)/2)]

where

a, b, c = sides of spherical triangle

s = (a + b + c)/2

***

ஆகவே பூமியின் மீது மூன்று அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட புள்ளிகளின் ஆயத் தொலைகள் கொடுக்கப்பட்டால், அவை முக்கோணங்களாக பிரிக்கப்பட்டு , இப்பதிவில் கண்ட முறைப்படி பரப்பு காணப்பட வேண்டும். மொத்த பரப்பினை அனைத்து முக்கோணங்களின் பரப்புகளின் கூடுதல் ஆகும்.

http://en.wikipedia.org/wiki/Spherical_trigonometry

இந்த கோள திரிகோணமிதி கணிதத்தில் முதன் முதலில் கிரேக்கர்களும், பல முஸ்லீம் மேதைகளும் பங்களிப்பு செய்துள்ள‌னர். அவர்களையும் நன்றியோடு நினைவுகூறுவோம். கிரேக்கர்களின் அறிவியலை மொழியாக்கம், மேம்பாடு நோக்கி தொடர்ந்தவர்கள் உம்மையாது, பெர்சிய அறிஞர்கள் என்பது வரலாற்று உண்மை. பூமியின் ஆரம் அளந்த அல் பைரூனி பற்றியும் நினைவுகூறுதல் நலம்.

இன்னும் விளக்கம் வேண்டுபவர்கள் மட்டும் காணொளி காணவும்.

இந்த காணொளியில் இந்த ஆசிரியர் Mr Wildberger மிக அருமையாக விளக்குகிறார். கோளத்தில் ஆரம் =1 அலகு என எடுக்கிறார். கோணங்களை 2.பை ரேடியன் என்பதை 1 அலகு என எடுப்பதால் வட்டத்தின் பரப்பு ,1/2 சதுர அலகு, கோளத்தின் பரப்பு   2 சதுர அலகு என எடுக்கிறார். இது மனதில் கண்க்கிட எளிதாக உள்ளது. கோள முக்கோணத்தின் பரப்பு கோணங்களின் கூடுதல்-1/2 [A+B+C-1/2] மட்டுமே!!!கோளம் பற்றியே பல விடயங்கள் சொல்கிறார். அற்புதமாக உள்ளது

நன்றி!!!