கோடு+புள்ளி+கோலம்=கணிதம்

  

                                                               Leonhard Euler

நம் தேடலில் சிக்கிய ஒவ்வொன்றையும் அறிய முயற்சிக்கிறோம்.அறிய இயன்றதை  எளிமையாக்கி நம் தமிழ் உறவுகளுக்கு அளிக்கிறோம். ஒன்றின் மீதான தேடல் வேறொன்றை கண்டறியும் வாய்புகளும் உண்டு.பல அறிவியல் கண்டுபிடிப்புகள் இவ்வகையை சேர்ந்தவையே.இரசவாதத்தின் (தங்கம் தயாரிக்கும் முறை)மீதான தேடல் வேதியியல் தோன்ற காரணமாயிற்று.. பண்டிகை,திருநாள்களில் நம் சகோதரிகள் புள்ளி வைத்து அற்புதமாக கோலம் போடுவார்கள்.இந்தியாவின் பிற பகுதிகளிலும் இதனை இரங்கோலி என்பார்கள்.இருந்தாலும் நம் கோலத்தில் கணிதம் அடங்கி இருக்கிறது என்பதும் அதன் நடைமுறை பயன் பாடுகள் மிக அதிகம் என்பதுதான் சிறப்பு. 

கணிதத்தில்   graph theory     என்பது ஒரு முக்கியமான் பிரிவு. அதில் புள்ளி[vertices] என்பது ஒரு நிலையான ஒரு இடத்தை குறிக்கவும்,கோடு[edge]  என்பது இரு புள்ளிகளை சேர்க்கும் ஒரு இணைப்பு ஆகும்.

இரு பரிமாணத்தில் வரைய‌ப்படும் கோலம் planner graph[தரைக் கோலம்] எனப்படுகிறது. எந்த இரு கோடுகளும் வெட்டிக் கொள்ளக் கூடாது. அது என்ன இரு பரிமாணம் எனில் தரை அல்லது ஒரு காகிதத்தில் வரையப் படும் கோலம் என கூறலாம்.சில அதி புத்திசாலி நண்பர்கள் காகிதம் வளைந்து இருந்தால்,தரை சமம‌ற்று  இருந்தால் முப்பரிமாணம் ஆகும் என்பார்கள். எதையும் முதலில் கற்றுக் கொள்ளும் போது எளிமையான சூழலோடு கற்று பிறகு அதன் கொஞ்சம் கொஞ்சமாக  பல சூட்சுமங்களை கற்பது நல்லது. Simple and reduced order models evolve as complex systems. எடுத்தவுடன் முழுவதையும் புரிந்தால்தான் கற்பேன் என்பது உதவாது.

இந்த தரைக் கோலத்தில் ஒரு புகழ் பெற்ற ஒர் புதிரை பார்ப்போம்.கோணிக் பெர்க் என்னும் ஊரின் இடையே ஒரு ஆறு ஓடுகிறது.அதன் குறுக்கே 7 பாலங்கள் கட்டப்பட்டுள்ளன.அது படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ளது.

இந்த ஊரின் ஒரு இடத்தில் ஆரம்பித்து எல்லா பகுதிகளுக்கு செல்ல வேண்டும்,தொடங்கிய இடத்திற்கே திரும்ப வேண்டும். எனில் ஒவ்வொரு பாலத்தையும் ஒரு முறை மட்டுமே கடந்து செல்ல முடியுமா? என்பதே புதிர். பொ.ஆ 1254 ல் இந்த நகரம் அமைக்கப் பட்ட போது இப்புதிர் வடிவமைக்கப் பட்டது.இதற்கு ஆய்லர் என்னும் கணித மேதை பொ ஆ 1736 இப்புதிருக்கு தீர்வு இருக்க முடியாது என்று நிரூபித்தார்.ஏமாற்றமாக் இருக்கிறதா? சில புதிர்களுக்கு தீர்வு கிடையாது என்பதும் உண்மைதான்.ஏன் விடை இருக்க முடியாது என்பதன் விளக்கம்தான் உண்மையான தீர்வு ஆகும்.

ஆய்லர் இதற்கு ஏன் விடை இருக்க்வே முடியாது? என்று கூறுகிறார்.இப்புதிரில் ஏதாவது மாற்றம் செய்தால் தீர்வு கிடைக்குமா? என்பதை பார்ப்போம்.

1.முதலில் இப்புதிரை ஒரு கோலமாக உருமாற்றினார் ஆய்லர். நிலம் புள்ளியாகவும் ,பாலம் கோடு ஆக்வும் மாறியது. ஒரு புள்ளியில் இருந்து தொடங்கி அனைத்து கோடுகளையும் ஒருமுறை கடந்து அனைத்து புள்ளிகளையும் தொட்டு தொடங்கிய இடத்துக்கே வரவேண்டும். இதற்கு ஆய்லர் பாதை என்றே பெயர். இது ஒன்றுமில்லை நம்ம சகோதரிகள புள்ளிவைத்து கையெடுக்காமல் கோலம் போடுவார்கள் அல்லவா அதேதான்!!!!

 

2. ஒவொரு புள்ளியிலும் சந்திக்கும் கோடுகளின் எண்ணிக்கை கணக்கிட வேண்டும்.இதனை புள்ளி தரம்(degree) என்போம்.

3 ஆய்லரின் கொள்கை:ஒரு கோலத்தில் இரு புள்ளிகளுக்கு மேல் புள்ளி தரம் ஒற்றை எண் ஆக இருந்தால் அதற்கு ஆய்லர் பாதை கிடையாது.

For the existence of Eulerian trails it is necessary that no more than two vertices have an odd degree; this means the Königsberg graph is not Eulerian. If there are no vertices of odd degree, all Eulerian trails are circuits. If there are exactly two vertices of odd degree, all Eulerian trails start at one of them and end at the other. Sometimes a graph that has a Eulerian trail but not a Eulerian circuit is called semi-Eulerian.

ஒருவேளை இரு ஒற்றைப் படை புள்ளி தர எண் கொண்ட கோலத்திற்கு ஆய்லர் பாதை உண்டா எனில் கிடையாது என்றே கூற வேண்டும்.ஆனால் ஆய்லர் முயற்சி(Euler Trial) என்னும் புதிய அமைப்புக்குள் வரும். ஒரு ஒற்றைப்படை புள்ளி தரம் கொண்ட கோலம் இருக்க முடியாது. ஆகவே அனைத்து புள்ளிகளும் இரட்டை எண் புள்ளி தரம் கொண்ட கோலத்திற்கு ஆய்லர் பாதை உண்டு.

4. இப்போது இந்த கோனிக்பர்க் 7 பால புதிரை பாருங்கள் மொத்தம் 4 புள்ளிகள், 7 கோடுகள்.

ஆரஞ்சு புள்ளி தரம் =5 கோடுகள்

சிவப்பு  புள்ளி தரம் =3 கோடுகள்

நீலம்  புள்ளி தரம் =3 கோடுகள்

வெள்ளை புள்ளி தரம் =3 கோடுகள்

இபோது ஆய்லரின் கொள்கை படி இரண்டுக்கு மேற்பட்ட(4) புள்ளிகளீன் தரம் ஒற்றை படையில் இருப்பதால் தீர்வு கிடையாது.

இப்போது  புதிர் தீர்க்கும் படியாக ஆக வேண்டுமெனில் இரு(or any) கோடுகளை வரைந்து அனைத்து புள்ளிகளின் தரமும் இரட்டை எண்களாக மாறும் படி செய்தால் போதும்.முயற்சி செய்யலாமே!!!!!!!!

அப்புறம் என்ன இதெல்லாம் எதற்கு என்கிறீர்களா கூகிள் வரை[google map] படம் பயன் படுத்துகிறோம் அல்லவா,அதுவும் இது போன்ற ஒரு பயன் பாடுதான்.இன்னும் இந்த கோல இயலில் பல பிரிவுகள் ,புதிர்கள் உண்டு,பல் புள்ளிகள் உள்ள கோலத்தில் இரு புள்ளிகளுக்கிடையே உள்ள மிக குறைந்த தூரம் என்ன? எந்த பாதைகளில் சென்றால் நேரம் மிச்சப் படும் என்பதெலாம் கண்டறிய முடியும்.நாம்  ஒரு ஆர்வம் ஏற்படுத்துகிறோமே தவிர கற்றுக் கொடுப்பதில்லை.இந்த காணொளி பாருங்கள் இன்னும் நன்றாக புரியும்.நன்றி

http://en.wikipedia.org/wiki/Seven_Bridges_of_K%C3%B6nigsberg

http://en.wikipedia.org/wiki/Leonhard_Euler

பணமின்றி வாழ முடியுமா? உண்மை சம்பவ அடிப்படையிலான‌ காணொளி

இது 1970ல் நடந்த உண்மை சம்பவங்களை அடிப்படையாக கொண்டு தயாரிக்கப்பட்ட ஆவணப்படம். நாம் அனைவரும் ஆசையே துன்பத்திற்கு காரணம் என்று அறிந்து இருந்தாலும் நடைமுறை வாழ்வில் பணம் தேடி ஓடிக் கொண்டிருப்பவர்கள்தான்.எவ்ருக்கும் எவ்வளவும் செல்வம் போதுமனது என்று கண்க்கிட முடிவது(விருப்பம்) இல்லை. 1970ல் டோலி ஃப்ரீட்  என்னும் 18 வயது பெண் எழுதிய புத்தக்த்தின் அடிப்படையில் இந்த திரைப்படம் தயாரிக்கப்பட்டுள்ளது. பள்ளிக் கல்வி கற்ற மட்டும் டோரதி தன் தந்தையுடம் ஒரு அரை ஏக்கர் நிலத்தில் இயற்கை சார்ந்த விவசாயம் செய்து வாழ்ந்து வந்ததை,தன்னிறைவு பெற்ற,பணத் தேவை அற்ற வாழ்வை ஆவணப் ப்டுத்துகிறார்கள்.இவ்வாழ்வு முறையே possum living  என்று பெயருடன் புகழ் பெற்றது.இது அனைவருக்கும் நடைமுறையில் சாத்தியம் இல்லை எனினும் இப்படியும் ஒரு வாழ்வு உண்டு என அறியும் வாய்ப்பாக எடுத்துக் கொள்வோம்.

http://www.possumliving.net/about.html

Part 2

Part 3

“Why is it that people assume one must be a hippie, or live in some dreary wilderness, or be a folksy, hard-working, back-to-nature soybean-and-yogurt freak in order to largely bypass the money economy? My father and I have a house on a half-acre lot 40 miles north of Philadelphia, Pa. (hardly a pioneer homestead), maintain a middle-class façade, and live well without a job or regular income—and without working hard, either.”

—Dolly Freed, Possum Living: How To Live Well
Without A Job And With (Almost) No Money

இப்புத்தகம் மிகவும் பிரபலம் அடைந்தது.டோலி ஒரு சிறந்த எழுத்தாளராக போற்றப் பட்டார்.அதன் பிறகு கல்வியை தொடர்ந்த டோரதி நாசாவில் விஞ்ஞானியாக பணியாற்றும் அளவிற்கு உயர்ந்தார்.தற்போது கணவர் இரு குழந்தைகளுடன் டெக்சாஸில்(Texas USA) வசித்து வருகிறார்.. அனைவருக்கும் இனிய தீபாவளி வாழ்த்துகள்!!!!!!!!!!!!!

வகைகெழு சமன்பாடுகள்[Differential Equations] என்றால் என்ன?:1

 

சமன்பாடுகளின் வகைகள் பற்றிய பதிவின் தொடர்ச்சியாக வகைகெழு(derivative) பற்றி மட்டும் இப்பதிவில் பார்ப்போம்.

இந்த அறிவியல் கணித வல்லுனர்கள் இடம் இருந்து ஏதாவது  கற்றுக் கொள்ள‌ வேண்டுமெனில் பெரிய பெரிய வார்த்தைகளை சொல்லி குழப்பி ஒரு பயம் ஏற்படுத்தி விடுவதையே வழக்கமாக கொண்டவர்கள்.ஆகையால்தான் மகாகவி பரதியார் கணக்கு,மணக்கு ,ஆமணக்கு என்றார்.

நாம் வல்லுனர் அல்லாத சாமான்யன் என்பதாலும் கலை,இலக்கியம் அறிவியல் அனைத்தும் மக்களுக்கே என்னும் கருத்தை உடையவன் ஆதலாலும் இம்மாதிரி முயற்சிகளை செய்கிறோம்.எளிய தமிழில் எதையும் சொல்ல முடியும் என்பது நம் அனுபவரீதியான உணர்வு. சரி பதிவிற்குள் செல்வோம்.

அறிவியல் என்பது இயற்கையின் நிகழ்வுகளை கவனித்து அதன் காரணிகளை[variables] கண்டறிகிறார்கள்.அக்காரணிகளின் தொடர்பே சமன்பாடுகளாக கணிதமுறைகளில் வரையறுக்கப்படுகின்றன என்பதை சென்ற பதிவிலேயே பார்த்தோம்.

அக்காரணிகளில் சார்பற்றவை[independent] ,சார்புள்ள்வை[dependent] என்று பிரிக்கப்பட்டு சார்புள்ள காரணிகள் சார்பற்ற காரணிகளால் தொடர்பு படுத்தப்படுகின்றன. சார்பற்றவை input  ஆகவும் சார்புள்ளவை  output ஆகவும் ஏற்றுக் கொள்ளப் படுகிறது.

அது எப்படி தேர்ந்தெடுப்பது என்றால் அது பற்றி இப்பதிவில் விவாதிக்க வேண்டாம ஒரு(சில)  inputம் ஒரு(பல) output உள்ள ஒரு system ஆக பெரும்பாலான‌ இயற்கை நிகழ்வுகளை  வரையறுக்க இயலும்.சரி சமன்பாடுகள் எதற்கு பயன்படுகிறது என்பதை பார்த்தோம்.

இந்த காரணிகளில் சில(பல) காலம் அல்லது மற்ற காரணி சார்ந்து மாறுகின்றது என்றால் அது வகைகெழு சமன்பாடுகளால் வரையறுக்கப் படுகிறது.

சரி வகை கெழு[derivative] என்றால் என்ன?

இரு காரணிகளுக்கு இடையே உள்ள தொடர்பின் மாற்றத்தின் விகிதம் வகைகெழு எனபடுகிறது. நாம் இதனை சிறு மாற்ற விகிதம் என்றழைக்கலாம்

The rate of change of function is known as derivative

ஹா ஹா குழப்ப மாட்டேன் என்று சொல்லி விட்டு குழப்புகிறீர்களே என்று கூறுவது கேட்கிறது.மன்னிக்கவும்.

கொஞ்சம் இதைபற்றி அலசுவோம்!!!!!!!

ஒரு சார்பற்ற மாறி[variable] x க்கும் சார்புள்ள y மாறிக்கும் உள்ள தொடர்பு(function).

y=f(x)

அதாவது x  ஐ அந்த செயலுக்கு உட்படுத்தினால் y கிடைக்கிறது.

x  மாறும் போது  y ம் மாறுகிறது.இப்போது  x மிக குறைந்த அளவு(∆x) மாறும் போது y ம் மிக குறைந்த அளவு(∆y) மாறும்

அந்த மாற்றங்களுக்கு உள்ள விகிதம்தான் வகைகெழு. x மாறும் அளவும் y மாறும் அளவும் ஒரே அளவாக இருக்காது என்பதால் இந்த விகிதம் கணக்கிட இயலும்.

(∆y)/( ∆x)=[f(x+∆x)-f(x)]/ ∆x= வகைகெழு.

∆x≈0;(Actually ∆x is very very small posive value which can be neglegible value)

இப்போது y=2x என்று எடுத்துக் கொள்வோம்.சிறு மாற்றத்தின் விகிதம்)=[2(x+∆x)-2(x)]/ ∆x=2

இப்போது y=x^2 என்று எடுத்துக் கொள்வோம்.சிறு மாற்றத்தின் விகிதம்)=[(x+∆x)^2-(x^2)]/ ∆x=2x+∆x=2x [since ∆x=0 approximation ]

வகைக்கெழு அல்லது சிறுமாற்ற விகிதம் என்பது புரிந்து இருக்கும் என நம்புகிறேன்.எந்த ஒரு  தொடர்புக்கும் வகைகெழு எளிதில் இம்முறையில் கண்டுபிடிக்க இயலும் எனினும் துரிதமாக கண்க்கிட  formulas  மனப்பாடம் செய்பவது நல்லது.

வகைகெழு சமனபாடுகள் பற்றி அடுத்த பதிவில் தொடர்வோம்!!

(To be continued)

http://en.wikipedia.org/wiki/Derivative

http://www.numberempire.com/derivatives.php

இன்னிசையுடன் இயற்கை அழகின் விருந்து :காணொளி

இப்ப‌திவில் நான் இர‌சித்து பார்த்த‌ ஒரு காணொளியை ப‌திவிடுகிறேன்.
இயற்கையின் அழகும்,இன்னிசையும் மனதை இள‌க வைத்து பண்படுத்துகிறது.இக்காணொளியில் இசை மேதை பீத்தொவனின் இசையில் இயற்கையின் அழகை படம் பிடித்துள்ளனர்.காணொளியின் தரமும் அற்புதம்.பெறுக யான் பெற்ற இன்பம் இவ்வையகம்!!!!!!!

கணித சம‌ன்பாடுகளின்[mathematical equations] வகைகள்





அறிவியலில் கணிதம் என்பது பிரிக்க முடியாத அங்கம் என்பதை அனைவருமே ஒத்துக் கொள்வோம்.இயற்கையின் நிகழ்வுகளை விளக்குவதே அறிவியல்.அந்நிகழ்வுகளின் காரணிகளை(parameters) வரையறுத்து அக்காரணிகளின் இடையே உள்ள தொடர்பை சமன்பாடுகள் மூலமாக வரையறுப்பதே இதன் பரிணாம வளர்ச்சி.

எ.கா

நுயுட்டனின் ஈர்ப்பு விதி(Newton’s law of gravitation) பற்றிய சமன்பாடு. இரு பொருள்களுக்கிடையே ஏற்படும் ஈர்ப்பு விசை அவ்ற்றின் எடைகளின் பெருக்கத்திற்கு(m1*m2) நேர் விகிதத்திலும்,அதன் தூரத்தின் இருமடிக்கு(r^2) எதிர்விகிதத்திலும் இருக்கும் என்பதே விதி ஆகும்.இதனை கணித சமன்பாடாக கீழ்க்கண்ட முறையில் எழுத முடியும்.

where: ·        F is the force between the masses, ·        G is the gravitational constant, ·        m1 is the first mass, ·        m2 is the second mass, and ·        r is the distance between the masses.

பிறகு மாறிலி Gன் மதிப்பை பல சோதனைகள் மூலம் கண்டறிய முடியும் [G=6.674×10⁻¹¹ N m² kg⁻² ]

இப்பதிவில் பொதுவாக கணித சம்ன்பாடுகள் வகைகள்,அவற்றின் பயன் பாடுகள் பற்றி கூறுவது மட்டுமே நோக்கம் .

மே கூறிய சமன்பாடு மூன்று காரணிகளை கொண்டது

1.முதல் பொருளின் எடை(m1)

2.இரண்டாம் பொருளின் எடை(m2)

3. இரு பொருள்களின் (ஈர்ப்பு மையங்களுக்கிடையே) இடையே உள்ள தூர‌ம்(r)

பொதுவாக கணித சமன்பாடுகளை இரு வகையாக பிரிக்கலாம்.

1.அல்ஜீப்ரா சமன்பாடுகள். [Algebraic equations]

2. வகைகெழு சமன்பாடுகள். [Differential equations]

இன்னும் discrete equations என்று ஒரு வகை உண்டு என்றாலும் அது தொடர்சியான சமன்பாடுகளில்(continuous domain equations) வராது.

மேலே கண்ட சமன் பாடு ஒரு அல்ஜீப்ரா சமன்பாடு ஆகும்.எப்படி என்று கேட்கிறீர்களா ?. அல்ஜீப்ரா சமன்பாடு என்பது ஒரு சமன்பாட்டில் உள்ள அனைத்து காரணிகளும் நேரம்(time) அல்லது எதனை பொறுத்தும் மாறாமல் இருந்தால் அது அல்ஜீப்ரா சமன்பாடு ஆகும்.

அதாவது ஒரு குறிப்பிட்ட தூரத்தில் உள்ள குறிப்பிட்ட அளவு எடைகளுக்கு இடையே உள்ள விசையின் அளவை இந்த சமன்பாடு கணக்கிடுகிறது.

http://en.wikipedia.org/wiki/Newton's_law_of_universal_gravitation

இப்போது இரண்டாவது பொருள் ஒரு அலகு(unit) எடை கொண்டதாக் வைத்துக் கொள்வோம்.அது முதல் பொருளில் இருந்து நகர்ந்து செல்வதாக் கொண்டால் அச்சமன்பாட்டில் தூரம் என்பது மாறக் கூடியதாக் உள்ளதால் இதனை வகை கெழு சமன்பாட்டின் மூலமே கூற இயலும்.

The differential form of Gauss's law for gravity states:

Where

 Denotes divergence, [வகைகெழுவில் மூன்று(gradient,divergent,curl) வித பயன் பாடுகள் உண்டு.இது பற்றி தனி பதிவிடுகிறேன்].

g=gravitational intensity

G is the gravitational constant of the universe,

ρ is the mass density at each point.

கணித அறிஞர் காஸ்(Gauss 1777(1777-04-30)_1855(1855-02-23) CE) ன் ஈர்ப்பு விசைக்கான வகை கெழு சமன்பாடு கீழே கொடுக்கப் படுகின்றது. இச்சமன்பாட்டை நியுட்டனைன் அல்ஜீப்ரா சமன்பாடாக மாற்ற இயலும்.

ஆகவே சமன்பாட்டில் உள்ள காரணிகள் (பொதுவாக) நேரம் பொறுத்து மாறும் போது அதற்கு வகை கெழு சமன்பாடு பயன் படுத்துகிறோம்.அல்ஜீப்ரா  சமன்பாட்டை வகைக்கெழு சமன்பாடாக எளிதில் மாற்றலாம்.அனைத்து வகை கெழு சமன்பாடுகளையும் அல்ஜீப்ரா சமன்பாடாக தீர்வு காண்பது கடினம்.சில தோராய தீர்வுகளே சில சமயங்களில் பயன் படுத்தப் படுகின்றன. 

ஆகவே இப்பதிவின் மூலம் சொல்வது என்ன?

1.சமன்பாடுகள் என்பது ஒரு இயற்கை(செயற்கை) நிகழ்வின் காரணிகளுக்கு இடையே உள்ள தொடர்பு ஆகும்.

2.காரணிகள் அக்குறிப்பிட்ட சூழலில் மாறாமல் இருக்கும் போது அவை அல்ஜீப்ரா சமன்பாட்டின் மூலம் தொடர்பு படுத்தப் படுகின்றது.

3.ஒன்று அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட காரணிகள் காலம் பொறுத்து மாறும் போது வகைக்கெழு சமன்பாடாக தொடர்பு படுத்தப் படுகின்றது.

4.அல்ஜீப்ரா சமன்பாடு வகைகெழு சம்ன்பாடாக (எளிதில்) மாற்ற இயலும்.அனைத்து வகை கெழு சமன்பாடுகளையும் அல்ஜீப்ரா சமன்பாடாக மாற்ற இயலாது.

எ.கா வில் சொன்ன சமன் பாடு புரியவில்லை எனில் Be cool!!!!!!!. வகைகெழு சமன்பாடுகள் அதன் வகைகள் பற்றி ஒரு பதிவிடுவேன். இது குறித்த உங்கள் சந்தேகங்களுக்கு விளக்க்ம் அளிக்க தயாராக உள்ளேன்,

ஒரு புதிர் சகோ இரப்பானி அளித்தார் அதையும் இங்கே இணைத்து விடுகிறேன்!‌

/ஒரு விவசாயி 100 ரூபாய் வைத்துள்ளார் , பழக்கடைக்கு செல்கிறார் கடையில் மா,பலா,வாழை என்ற 3 வகை பழங்கள் மட்டும் உள்ளது அதன் விலை மா ஒன்று=75 பைசா பலா ஒன்று = 5 ரூபாய் வாழை ஒன்று = 25 பைசா என்று வைத்துக்கொண்டால் ( விலையில் எந்த மாற்றமும் இல்லை) விவசாயிடம் உள்ள 100 ரூபாயிக்கு 100 பழம் வாங்கவேண்டுமெனில் எத்தனை மா,பலா,வாழை ???? இதற்க்கு விடை தெரிந்தால் சொல்லவும்/

ஸ்லாம் சகோ ர‌ப்பானி

இதனை இரு சமன்பாடுகளாக வடிவமைக்க்லாம் ஆனால் 3 மாறிகள்.ஆக எண்ணற்ற தீர்வுகள் இருக்க்லாம்.ஆனாலும்  பழங்களை முழுமையாக வாங்குவதாகவே கணக்கிட வேண்டும் ஆகவே தீர்வு முழு எண்கள்(integer) மட்டுமே.என்னால் 5 தீர்வுகள் வரை கண்டறிய முடிந்தது.புதிருக்கு நன்றி

0.75x+5y+0.25z=100

x+y+z=100

X,y,z=integers

தீர்வுகள்	z வாழை 0.25	y பலா 5	x மா 0.75
1	1	6	93	100
2	18	8	74	100
3	35	10	55	100
4	52	12	36	100
5	69	14	17	100

 நன்றி சகோ இரப்பானி