கோடு+புள்ளி+கோலம்=கணிதம்

  

                                                               Leonhard Euler

நம் தேடலில் சிக்கிய ஒவ்வொன்றையும் அறிய முயற்சிக்கிறோம்.அறிய இயன்றதை  எளிமையாக்கி நம் தமிழ் உறவுகளுக்கு அளிக்கிறோம். ஒன்றின் மீதான தேடல் வேறொன்றை கண்டறியும் வாய்புகளும் உண்டு.பல அறிவியல் கண்டுபிடிப்புகள் இவ்வகையை சேர்ந்தவையே.இரசவாதத்தின் (தங்கம் தயாரிக்கும் முறை)மீதான தேடல் வேதியியல் தோன்ற காரணமாயிற்று.. பண்டிகை,திருநாள்களில் நம் சகோதரிகள் புள்ளி வைத்து அற்புதமாக கோலம் போடுவார்கள்.இந்தியாவின் பிற பகுதிகளிலும் இதனை இரங்கோலி என்பார்கள்.இருந்தாலும் நம் கோலத்தில் கணிதம் அடங்கி இருக்கிறது என்பதும் அதன் நடைமுறை பயன் பாடுகள் மிக அதிகம் என்பதுதான் சிறப்பு. 

கணிதத்தில்   graph theory     என்பது ஒரு முக்கியமான் பிரிவு. அதில் புள்ளி[vertices] என்பது ஒரு நிலையான ஒரு இடத்தை குறிக்கவும்,கோடு[edge]  என்பது இரு புள்ளிகளை சேர்க்கும் ஒரு இணைப்பு ஆகும்.

இரு பரிமாணத்தில் வரைய‌ப்படும் கோலம் planner graph[தரைக் கோலம்] எனப்படுகிறது. எந்த இரு கோடுகளும் வெட்டிக் கொள்ளக் கூடாது. அது என்ன இரு பரிமாணம் எனில் தரை அல்லது ஒரு காகிதத்தில் வரையப் படும் கோலம் என கூறலாம்.சில அதி புத்திசாலி நண்பர்கள் காகிதம் வளைந்து இருந்தால்,தரை சமம‌ற்று  இருந்தால் முப்பரிமாணம் ஆகும் என்பார்கள். எதையும் முதலில் கற்றுக் கொள்ளும் போது எளிமையான சூழலோடு கற்று பிறகு அதன் கொஞ்சம் கொஞ்சமாக  பல சூட்சுமங்களை கற்பது நல்லது. Simple and reduced order models evolve as complex systems. எடுத்தவுடன் முழுவதையும் புரிந்தால்தான் கற்பேன் என்பது உதவாது.

இந்த தரைக் கோலத்தில் ஒரு புகழ் பெற்ற ஒர் புதிரை பார்ப்போம்.கோணிக் பெர்க் என்னும் ஊரின் இடையே ஒரு ஆறு ஓடுகிறது.அதன் குறுக்கே 7 பாலங்கள் கட்டப்பட்டுள்ளன.அது படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ளது.

இந்த ஊரின் ஒரு இடத்தில் ஆரம்பித்து எல்லா பகுதிகளுக்கு செல்ல வேண்டும்,தொடங்கிய இடத்திற்கே திரும்ப வேண்டும். எனில் ஒவ்வொரு பாலத்தையும் ஒரு முறை மட்டுமே கடந்து செல்ல முடியுமா? என்பதே புதிர். பொ.ஆ 1254 ல் இந்த நகரம் அமைக்கப் பட்ட போது இப்புதிர் வடிவமைக்கப் பட்டது.இதற்கு ஆய்லர் என்னும் கணித மேதை பொ ஆ 1736 இப்புதிருக்கு தீர்வு இருக்க முடியாது என்று நிரூபித்தார்.ஏமாற்றமாக் இருக்கிறதா? சில புதிர்களுக்கு தீர்வு கிடையாது என்பதும் உண்மைதான்.ஏன் விடை இருக்க முடியாது என்பதன் விளக்கம்தான் உண்மையான தீர்வு ஆகும்.

ஆய்லர் இதற்கு ஏன் விடை இருக்க்வே முடியாது? என்று கூறுகிறார்.இப்புதிரில் ஏதாவது மாற்றம் செய்தால் தீர்வு கிடைக்குமா? என்பதை பார்ப்போம்.

1.முதலில் இப்புதிரை ஒரு கோலமாக உருமாற்றினார் ஆய்லர். நிலம் புள்ளியாகவும் ,பாலம் கோடு ஆக்வும் மாறியது. ஒரு புள்ளியில் இருந்து தொடங்கி அனைத்து கோடுகளையும் ஒருமுறை கடந்து அனைத்து புள்ளிகளையும் தொட்டு தொடங்கிய இடத்துக்கே வரவேண்டும். இதற்கு ஆய்லர் பாதை என்றே பெயர். இது ஒன்றுமில்லை நம்ம சகோதரிகள புள்ளிவைத்து கையெடுக்காமல் கோலம் போடுவார்கள் அல்லவா அதேதான்!!!!

 

2. ஒவொரு புள்ளியிலும் சந்திக்கும் கோடுகளின் எண்ணிக்கை கணக்கிட வேண்டும்.இதனை புள்ளி தரம்(degree) என்போம்.

3 ஆய்லரின் கொள்கை:ஒரு கோலத்தில் இரு புள்ளிகளுக்கு மேல் புள்ளி தரம் ஒற்றை எண் ஆக இருந்தால் அதற்கு ஆய்லர் பாதை கிடையாது.

For the existence of Eulerian trails it is necessary that no more than two vertices have an odd degree; this means the Königsberg graph is not Eulerian. If there are no vertices of odd degree, all Eulerian trails are circuits. If there are exactly two vertices of odd degree, all Eulerian trails start at one of them and end at the other. Sometimes a graph that has a Eulerian trail but not a Eulerian circuit is called semi-Eulerian.

ஒருவேளை இரு ஒற்றைப் படை புள்ளி தர எண் கொண்ட கோலத்திற்கு ஆய்லர் பாதை உண்டா எனில் கிடையாது என்றே கூற வேண்டும்.ஆனால் ஆய்லர் முயற்சி(Euler Trial) என்னும் புதிய அமைப்புக்குள் வரும். ஒரு ஒற்றைப்படை புள்ளி தரம் கொண்ட கோலம் இருக்க முடியாது. ஆகவே அனைத்து புள்ளிகளும் இரட்டை எண் புள்ளி தரம் கொண்ட கோலத்திற்கு ஆய்லர் பாதை உண்டு.

4. இப்போது இந்த கோனிக்பர்க் 7 பால புதிரை பாருங்கள் மொத்தம் 4 புள்ளிகள், 7 கோடுகள்.

ஆரஞ்சு புள்ளி தரம் =5 கோடுகள்

சிவப்பு  புள்ளி தரம் =3 கோடுகள்

நீலம்  புள்ளி தரம் =3 கோடுகள்

வெள்ளை புள்ளி தரம் =3 கோடுகள்

இபோது ஆய்லரின் கொள்கை படி இரண்டுக்கு மேற்பட்ட(4) புள்ளிகளீன் தரம் ஒற்றை படையில் இருப்பதால் தீர்வு கிடையாது.

இப்போது  புதிர் தீர்க்கும் படியாக ஆக வேண்டுமெனில் இரு(or any) கோடுகளை வரைந்து அனைத்து புள்ளிகளின் தரமும் இரட்டை எண்களாக மாறும் படி செய்தால் போதும்.முயற்சி செய்யலாமே!!!!!!!!

அப்புறம் என்ன இதெல்லாம் எதற்கு என்கிறீர்களா கூகிள் வரை[google map] படம் பயன் படுத்துகிறோம் அல்லவா,அதுவும் இது போன்ற ஒரு பயன் பாடுதான்.இன்னும் இந்த கோல இயலில் பல பிரிவுகள் ,புதிர்கள் உண்டு,பல் புள்ளிகள் உள்ள கோலத்தில் இரு புள்ளிகளுக்கிடையே உள்ள மிக குறைந்த தூரம் என்ன? எந்த பாதைகளில் சென்றால் நேரம் மிச்சப் படும் என்பதெலாம் கண்டறிய முடியும்.நாம்  ஒரு ஆர்வம் ஏற்படுத்துகிறோமே தவிர கற்றுக் கொடுப்பதில்லை.இந்த காணொளி பாருங்கள் இன்னும் நன்றாக புரியும்.நன்றி

http://en.wikipedia.org/wiki/Seven_Bridges_of_K%C3%B6nigsberg

http://en.wikipedia.org/wiki/Leonhard_Euler