வகைகெழு சமன்பாடுகள்[Differential Equations] என்றால் என்ன?:1

 

சமன்பாடுகளின் வகைகள் பற்றிய பதிவின் தொடர்ச்சியாக வகைகெழு(derivative) பற்றி மட்டும் இப்பதிவில் பார்ப்போம்.

இந்த அறிவியல் கணித வல்லுனர்கள் இடம் இருந்து ஏதாவது  கற்றுக் கொள்ள‌ வேண்டுமெனில் பெரிய பெரிய வார்த்தைகளை சொல்லி குழப்பி ஒரு பயம் ஏற்படுத்தி விடுவதையே வழக்கமாக கொண்டவர்கள்.ஆகையால்தான் மகாகவி பரதியார் கணக்கு,மணக்கு ,ஆமணக்கு என்றார்.

நாம் வல்லுனர் அல்லாத சாமான்யன் என்பதாலும் கலை,இலக்கியம் அறிவியல் அனைத்தும் மக்களுக்கே என்னும் கருத்தை உடையவன் ஆதலாலும் இம்மாதிரி முயற்சிகளை செய்கிறோம்.எளிய தமிழில் எதையும் சொல்ல முடியும் என்பது நம் அனுபவரீதியான உணர்வு. சரி பதிவிற்குள் செல்வோம்.

அறிவியல் என்பது இயற்கையின் நிகழ்வுகளை கவனித்து அதன் காரணிகளை[variables] கண்டறிகிறார்கள்.அக்காரணிகளின் தொடர்பே சமன்பாடுகளாக கணிதமுறைகளில் வரையறுக்கப்படுகின்றன என்பதை சென்ற பதிவிலேயே பார்த்தோம்.

அக்காரணிகளில் சார்பற்றவை[independent] ,சார்புள்ள்வை[dependent] என்று பிரிக்கப்பட்டு சார்புள்ள காரணிகள் சார்பற்ற காரணிகளால் தொடர்பு படுத்தப்படுகின்றன. சார்பற்றவை input  ஆகவும் சார்புள்ளவை  output ஆகவும் ஏற்றுக் கொள்ளப் படுகிறது.

அது எப்படி தேர்ந்தெடுப்பது என்றால் அது பற்றி இப்பதிவில் விவாதிக்க வேண்டாம ஒரு(சில)  inputம் ஒரு(பல) output உள்ள ஒரு system ஆக பெரும்பாலான‌ இயற்கை நிகழ்வுகளை  வரையறுக்க இயலும்.சரி சமன்பாடுகள் எதற்கு பயன்படுகிறது என்பதை பார்த்தோம்.

இந்த காரணிகளில் சில(பல) காலம் அல்லது மற்ற காரணி சார்ந்து மாறுகின்றது என்றால் அது வகைகெழு சமன்பாடுகளால் வரையறுக்கப் படுகிறது.

சரி வகை கெழு[derivative] என்றால் என்ன?

இரு காரணிகளுக்கு இடையே உள்ள தொடர்பின் மாற்றத்தின் விகிதம் வகைகெழு எனபடுகிறது. நாம் இதனை சிறு மாற்ற விகிதம் என்றழைக்கலாம்

The rate of change of function is known as derivative

ஹா ஹா குழப்ப மாட்டேன் என்று சொல்லி விட்டு குழப்புகிறீர்களே என்று கூறுவது கேட்கிறது.மன்னிக்கவும்.

கொஞ்சம் இதைபற்றி அலசுவோம்!!!!!!!

ஒரு சார்பற்ற மாறி[variable] x க்கும் சார்புள்ள y மாறிக்கும் உள்ள தொடர்பு(function).

y=f(x)

அதாவது x  ஐ அந்த செயலுக்கு உட்படுத்தினால் y கிடைக்கிறது.

x  மாறும் போது  y ம் மாறுகிறது.இப்போது  x மிக குறைந்த அளவு(∆x) மாறும் போது y ம் மிக குறைந்த அளவு(∆y) மாறும்

அந்த மாற்றங்களுக்கு உள்ள விகிதம்தான் வகைகெழு. x மாறும் அளவும் y மாறும் அளவும் ஒரே அளவாக இருக்காது என்பதால் இந்த விகிதம் கணக்கிட இயலும்.

(∆y)/( ∆x)=[f(x+∆x)-f(x)]/ ∆x= வகைகெழு.

∆x≈0;(Actually ∆x is very very small posive value which can be neglegible value)

இப்போது y=2x என்று எடுத்துக் கொள்வோம்.சிறு மாற்றத்தின் விகிதம்)=[2(x+∆x)-2(x)]/ ∆x=2

இப்போது y=x^2 என்று எடுத்துக் கொள்வோம்.சிறு மாற்றத்தின் விகிதம்)=[(x+∆x)^2-(x^2)]/ ∆x=2x+∆x=2x [since ∆x=0 approximation ]

வகைக்கெழு அல்லது சிறுமாற்ற விகிதம் என்பது புரிந்து இருக்கும் என நம்புகிறேன்.எந்த ஒரு  தொடர்புக்கும் வகைகெழு எளிதில் இம்முறையில் கண்டுபிடிக்க இயலும் எனினும் துரிதமாக கண்க்கிட  formulas  மனப்பாடம் செய்பவது நல்லது.

வகைகெழு சமனபாடுகள் பற்றி அடுத்த பதிவில் தொடர்வோம்!!

(To be continued)

http://en.wikipedia.org/wiki/Derivative

http://www.numberempire.com/derivatives.php