தொடர் பின்ன கூட்டல் அறிவோமா:பகுதி2

வணக்கம் நண்பர்களே,

சென்ற பதிவில் ஒரு தொடர் பின்ன(Continued Fraction) தொடர் வரிசை பற்றிய எளிய  அறிமுகம் கற்றோம். அறிவியலில் பல விடயங்கள் போல் இதுவும்  பல பயன்பாடுகள்,நுணுக்கங்கள் கொண்ட கணிதமுறையே.  பதிவுகளில் நாம் படிப்பதில் தமிழாக்கம் செய்து வெளியிடுகிறோம்.இது  சில இளைய தலைமுறைக்கு அறிவியலில் ஈடுபாடு ஏற்படுத்தினால் நல்லதே என்ற நோக்கம் மட்டுமே.

அறிவியல் என்பது கடினமானது அல்ல,முறையான   ,தொடர் கற்றலே சரியான புரிதல் ஏற்படுத்தும்.குறிப்பிட்ட கல்லூரியில் ,பள்ளியில் படித்தால் மட்டுமே அறிவியல் சரியாக அறிய முடியும் என்பது தவறான கருத்து. கற்றல் என்பது இப்போது எவரும் எதனையும் கற்பது மிக எளிதாகியே வருகிறது.

அனைத்து அறிவியல் கட்டுரைகளுமே தமிழில் வர வேண்டும் என்பதே நம் நோக்கம். தமிழ் பதிவுலகம் பல துறைகளில் சாதனை புரிந்து பீடு நடை போடுவது போல் அறிவியல் பதிவு சார் கல்வியிலும் மென்மேலும் சாதனை புரியும் என எதிர்பார்க்கிறோம்..

சரி பதிவுக்கு செல்லலாம்.

சென்ற பதிவில் இருந்து இக்கேள்விகளைப் பெற்றோம்.இதற்கு இப்பதிவில் விடை அறிவோம்!!!

1.அப்போது ஒவ்வொரு தொடர்பின்னத்துக்கும் இப்படி புதிர் போட முடியுமா?

2.அந்த முழு எண் புதிரில் இருந்து தொடர்பின்ன விடை எப்படி கொண்டுவருவது?

அல்லது

தொடர் பின்னத்தில் இருந்து முழு எண் புதிர் எப்படி கொண்டு வருவது?

ஒரு எண்ணின் வர்க்க மூலத்தை தொடர் பின்ன கூட்டலாக எழுதலாம் என்பதை சென்ற பதிவில் கற்றோம் அதாவது

                                                                                                                                                                                   

                           (1)

இப்போது இரமானுஜம் தீர்வு கண்ட புதிரின் பொதுவான அமைப்பு பார்ப்போம்!!

                              (2)

இதனை கொஞ்சம் மாற்றி எழுதினால்

அதாவது

                                                                                                                                           (3)

சமன்பாடு(3) க்கு பல தீர்வுகள் உண்டு அதில்  ஒன்று

y=1!!!!

சமன்பாடு [General Solution is]

(4)

என கணிக்கலாம். 'b' ஒரு  முழு எண்[b is an integer]

இரமானுஜம்  தீர்வு கண்ட புதிரில்  K  ன் ம‌திப்பு 10. ஆகவே sqrt(10) ன் தொடர் பின்ன தீர்வு அமைப்பின் ஒவ்வொரு ஒருங்கும்(stage)  தீர்வு ஆனது.

இபோது இரு சமன்பாடுகளை பார்த்தவுடன் முதல் ஒருங்கு  x=b/2, y=1

பிரதியிட்டால் சரியாக தீர்வு வருகிறது

இரண்டாம் ஒருங்கு

So

பிரதியிட்டால்

சரியாக தீர்வு வருகிறது.
...

இது போல் அனைத்து ஒருங்கிற்கும் வரும் என கணித ரீதியாக நிரூபணம் கொடுக்க முடியும் என்றாலும் கடினம் கருதி தவிர்க்கிறேன்.

நாம் நினைவில் கொள்ள வேண்டியவை இதுதான்.


ஒவ்வொரு 'b' மதிப்புக்கும் ஒரு புதிர் சமன்பாடு கிடைக்கும். அதன் K மதிப்பு மட்டும் கண்க்கிட்டால் போதும்.பிறகு  Kன் வர்க மூலத்திற்கு தொடர்பின்னம் எழுத வேண்டியதுதான். ஒவ்வொரு ஒருங்கும் தீர்வு தரும்.!!!

Just write continued fraction expansion for  square root of ''K' corresponding to 'b' value.Every stage is a solution!!!!

S.No      b    K 1 1 5/4 2 2 8/4 3 3 13/4 4 4 20/4 5 5 29/4 6 6 40/4 7 7 53/4 8 8 68/4 9 9 85/4 10 10 104/4

இப்போது புதிர் சமன்பாடு எப்படி அமைப்பது என அறிந்து கொண்டோம்.


இபோது ஃபைபோனோசி தொடருக்கும் தொடர் பின்னத்திற்கும் தொடர்பு உண்டு என்பதை அடுத்த பதிவில் அறிவோம்!!!!

பைபோனோசி தொடர் எனில் 1,1,2,3,5,8,,....

எந்த இரு அடுத்தடுத்த  எண்களை  கூட்டினால் மூன்றாம் எண் கிடைக்கும்.

http://library.thinkquest.org/27890/mainIndex.html

a1+ a2= a3

or
a(n-1)+a(n)=a(n+1)

 இது எலிகளின் இனப்பெருக்க விகிதத்தில் இருந்து அறியப்பட்ட விடயம்.


அடுத்த பதிவில் சந்திப்போம்!!!!!!!!!!

நன்றி!!!!!!!!



I thank this website for their online  equation editor.

http://rogercortesi.com/eqn/index.php