வட்டி கணக்கீட்டில் நுண்கணிதப்[Calculus] பயன்பாடு

வணக்கம் நண்பர்களே,

நாம் மக்களுக்கு பயன்படும் அறிவியல்,கணிதம் ,இயற்கை மேம்பாடு போன்றவற்றில் ஈடுபாடு கொண்டு இது குறித்த கற்றலை பகிர்ந்து வருகிறோம். பெரும்பாலான கணிதப் பதிவுகளில்  பின்னூட்டமிடும் சகோக்கள் இதற்கு பயன் பாடு எளிதில் அறியும் வண்ண‌ம் உண்டா எனவே கேட்பார்கள்.

நமக்கு அனைத்துக்கும் எளிய முறையில் பயன்பாடு கூற முடியாமல் போவதால் வருத்தம் உண்டு.அப்படி இருக்கும் போது ட்யூக்[Duke] பல்கலைகழகம் பல இலவச பாடங்கள் வழங்குவதும் அது குறித்த பரிணாம கல்வி குறித்தும் ஒரு பதிவிட்டோம் என்பது ஞாபகம் வந்தது.அத்தளத்தில் இன்னும் பல துறை சார் இலவச கல்விகள் உண்டு. அதில் கணக்கீட்டு நிதியியல்[Computational Finance] குறித்த ஒரு உரை கேட்டேன். 

http://faculty.washington.edu/ezivot/econ424/returnCalculations.pdf

அது வட்டி கணக்கிடுதல் பற்றிய விளக்க உரை ஆகும். அதில் வகைக்கெழு பயன்பாடும் இடம் பெற்றது ஆகா "கண்டேன் வட்டியில் வகைக்கெழுவின் பயன்பாட்டை" என ஆர்க்கிடிமஸ் போல் யுரேகா[ ஹி ஹி நான் அப்போது குளித்துக் கொண்டு இருக்கவில்லை] என கத்திக் கொண்டு ஓட வேண்டும் போல் இருந்தது.

http://en.wikipedia.org/wiki/Eureka_(word)

சரி புல்லரித்தது போதும்.ஒவ்வொருவருக்கும் ஈடுபாடுள்ள ஒவ்வொரு விடயத்தில் புல்லரிப்பு[?!] நிகழ்கிறது என்பதால் பதிவுக்கு செல்வோம்.

பெரும்பான்மை மனிதர்களுக்கு வட்டி கணக்கீடு என்பது ஒரு இன்றியமையா விடயமே. வட்டி என்பது என்ன?

நாம் ஒவ்வொரு விடயத்திலும் வலியுறுத்தும் அடிப்படை விடயம் ஒன்றே ஒன்றுதான்!!!

"மாற்றம் ஒன்றே மாற்றம் இல்லாதது"

இதன் அடிப்படையில் அனைத்தையும் அறிய, புரிய,கற்க‌ முயல்வதே சரியான பன்முக பார்வையாக நாம் ஏற்கிறோம்.

சரி வட்டி என்றால் சரியான வரையறுப்பு என்ன?

http://en.wikipedia.org/wiki/Interest

Interest is a fee paid by a borrower of assets to the owner as a form of compensation for the use of the assets. It is most commonly the price paid for the use of borrowed money,^[1] or money earned by deposited funds.^[2]

When money is borrowed, interest is typically paid to the lender as a percentage of the principal, the amount owed to the lender. The percentage of the principal that is paid as a fee over a certain period of time (typically one month or year) is called the interest rate.

ஒரு பொருளை பயன்படுத்துவதற்கான அதன் உரிமையாளருக்கு செலுத்தப்படும் பணம்.இது பொதுவாக பணம் கடனாக வாங்கி திருப்பி செலுத்தும் போது கொடுக்கப்படும் உபரி பணம் என்பதையே குறிக்கிறது. இது கடனாக வாங்கிய பணம் இதன் பெயர் 'முதலீடு[மூலதன‌ம்,Principal Amount]' ன் மதிப்பில் குறிப்பிட்ட பங்கு[பாகம் அல்லது சதவீதம்] ஆகும்

இன்னும் நம் பாணியில் சொல்வது என்றால் "காலரீதியான பண மதிப்பின் மாற்றம்" என்பதே சரியான வரையறுப்பு.இது அதிகரிப்பதாகவே ஏற்கப் பட்டாலும் சில விதி விலக்குகள் உண்டு.இப்போது வட்டிக் கண்க்கீட்டில் நுண்கணிதம் பயன்பாடு வருவதை மட்டும் விள‌க்குவோம்.

மூலதனத்தை பயன்படுத்துவதற்கான வாடகை வட்டிவீதம்[interest rate] என்ப்படுகிறது.பெரும்பாலும் இது ஆண்டுக்கு என வரையறுக்கப்படுகிறது. கணக்கீட்டில் மூலதனம், காலம், வட்டி வீதம் இந்த மூன்றும் காரணிகள் ஆகும்.

http://en.wikipedia.org/wiki/Compound_interest

முதல்[மூலதனம்,அசல்] என்பதை  'PV[Principal Value]'என்போம்

வட்டி வீதம் என்பதை  'R' என்போம்

காலம் என்பதை   't'ஆண்டுகள் என்போம்.

இப்போது வட்டியில் இருமுறை உண்டு 1.எளிய வட்டி,2. கூட்டு வட்டி

 PV என்ற மூலதனம் 't' ஆண்டுகளுக்கு பின் அடையும் மதிப்பை 'FV' (Final Value] என்போம்.


100 ரூபாய் 10% வட்டிவீதத்தில் 5 வருடத்தில், பல வட்டி கணக்கீட்டு முறைகளின் படி  எவ்வள்வு ஆகிறது என்பதை எ.கா ஆக கொள்வோம்.

PV=100

t=5

R=10%

A) முதலில் எளிய வட்டி கணக்கிட கற்போம்!!

FV=PV*[1+t*R]

FV=100*[1+5*10/100]=100*1.5=150Rs

வருடத்திற்கு 10 ரூபாய் என்ற வீதத்தில் 5 வருடத்தில் 50 ரூபாய் முதலீடு 100 ரூபாய் உடன் சேர்ந்து 150 ஆனது.இதில் வட்டி என்பது முதலீடு உடன் எப்போதும் சேராது. இப்படி வெளிப்படையிலான எளிய முறை பெரும்பானமை வங்கிகளில் பயன்படுத்துவது இல்லை!!!.

***********

B)இப்போது கூட்டு வட்டி கணக்கிட கற்போம்.

இப்போது என்ன வித்தியாசம் எனில் வட்டி மூலதனத்துடன் சேர்ந்து விடுகிறது.



FV=100*(1+0.10)^5= 161.05 Rs

பாருங்கள் கூட்டு வட்டியில் வட்டி குட்டி போடுவ்தை 150 ரூபாய்க்கும், 

161 ரூபாய்க்கும் உள்ள வித்தியாசத்தை.

கூட்டு வட்டியும் அதிகம் என்றாலும் குறைந்த பட்சம் வெளிப்படையான வட்டி

 கணகீட்டு முறைதான். பல்முறை வங்கி வட்டிகளில் நாம் கணக்கிட்ட அளவுக்கும்,

வங்கி  அளவுக்கும் வித்தியாசம் இருக்கும் ஏன் என்றால் பல வங்கிகள் 

  தொடர்  கூட்டு வட்டி [Continuous Compound Rate] என்னும் முறையை பின்பற்றுகின்றன.

இது என்னவெனில் வருட வட்டி 10% என்றாலும் இது ஒரு வருடத்தில் எத்தனை முறை கண்க்கிடப்படும் என்பதை சொல்ல மாட்டார்கள். வருடத்திற்கு இரு முறை அதாவது ஆறுமாதத்திற்கு ஒரு முறை 5% கூட்டு வட்டி முறையில் கணக்கிட்ட்டால் வட்டி எவ்வள்வு மாறுகிறது.

PV=100

t=2*5=10

r=10/2=5%

n=2[வருடத்திற்கு இரு முறை]

FV=PV*(1+r/n)^(n*t)

Where,

• A = final amount
• P = principal amount (initial investment)
• r = annual nominal interest rate (as a decimal, not in percentage)
• n = number of times the interest is compounded per year
• t = number of years

FV=100*(1+0.05)^10=162.88Rs

மாதம் ஒரு முறை கண்க்கிட்டால் எவ்வளவு  மாறும்?

n=12[மாதம் ஒரு முறை]

FV=100*(1+0.1/12)^60=164.5 Rs


ஆஹா அப்போது ஒரே வருட வட்டி வீதத்தில் ,இடையிடையே அதிக முறை கண்க்கிட்டால் வட்டி அதிகம் வருகிறதே. இதுதான் பலமுறை  வட்டி வித்தியாசம் நமது,வங்கி கண்கீடுகளில் வருவதன் காரணம் ஆகும்.

சரி இது அதிக பட்சம் எவ்வளவு வரை போகும்? அதாவது ஒரு வருடத்தில் குறிப்பிட்ட வருட வட்டி வீத‌த்தில் ,முடிவிலி[infinite] முறை வட்டி கணக்கிட்டால்  எவ்வளவு அதிகம் ஆகும்?

முடிவிலி முறை செய்ய முடியுமா ? ஏன் இப்படி விதண்டாவாதம் பேசுகிறீர் சகோ என்கிறீர்களா?

என்ன செய்வது?

n= முடிவிலி என்று சூத்திரத்தில் பிரதி இட்டால்[substitute] நம்மால் நேரடியாக கணக்கிட இயலாது. ஆகவே இதற்கு நுண்கணிதம்[Calculus] பயன்படுத்த வேண்டும்.

இந்த தொகை நுண்கணிதம் என்பதே பூச்சியம்,முடிவிலி சார் கணக்கீடு என்றால் ஒத்துக் கொள்வீர்களா?

சும்மா அடித்து விடாதீர்கள். இப்படியே உளறுவதே உமக்கு வாடிக்கை,நாங்கள் படித்த புத்தகம் எதுவும் இப்படி சொல்ல‌வில்லை. எந்த சங்கப் பாடலில் மன்னிக்கவும் ஆய்வுக் கட்டுரையில்,புத்தகத்தில் இப்படி உள்ளது? நிரூபிக்க முடியுமா? நேருக்கு நேர் ஒத்தைக்கு ஒத்தை விவாதம்[மட்டுமே ஹி ஹி] வர்ரீயா என பல மனக்குரல்களை நம்மால் [ ஹி ஹி காதில் அல்ல!!] கேட்க முடிகிறது.

வகைக்கெழு என்றால் என்ன சொல்வோம் ஒரு மாறித் தொடர்பின் மிகச் சிறு மாறு விகிதம்[ rate of change of a function]. இது குறித்து  நம் முநதைய பதிவில் படியுங்கள்.

http://aatralarasau.blogspot.com/2011/10/differential-equations-1.html


 ஒன்றுமில்லாமை[nothing], முழுமைத்துவம்[everything] இரண்டுமே தொடர்புடையவை.

கணிதத்தில் இது நன்கு புலப்படும்.

1/0=முடிவிலி, 1/முடிவிலி=0


எந்த எண்ணையும் அதே எண்ணால் வகுத்தால்  விடை ஒன்று ஆனால் பூச்சியம்,முடிவிலி இரண்டும் அதற்கு விதி விலக்கு!!.ஏன் இப்படி

சிந்திக்க மாட்ட்டீர்களா ??????????/

ஏன் எனில் பூச்சியம் என்பதும்,முடிவிலி என்பது பலப் பல எண்கள்!!!!!!!!!!

எண்ணற்ற பூச்சியங்கள்,முடிவிலிகள் உண்டு!!!

இது குறித்து பின்னூட்டத்தில் அதிகம் விளக்குகிறேன்.

சரி வட்டிக் கணக்கிற்கு செல்வோம்.

எங்கே நிறுத்தினோம்?.

தொடர் கூட்டு வட்டி முடிவிலி காலத்திற்கு எப்படி கணக்கிடுவது?

இதற்கு எல் ஹாஸ்பிடல் கணித விதியை பயன்படுத்த‌ வேண்டும். அதாவது  சில விகிதங்கள் 0/0 அல்லது முடிவிலி/முடிவிலி என வந்தால், பகுதியை[numerator],தொகுதிகளை[denominator] தனித்தனியாக வகைக்கெழு[derivative] கண்ட பிறகு பிரதியிட்டு மதிப்பு பெறும் விதம் ஆகும். இது ஒன்றுக்கு மேற்பட்ட முறைகளும் செய்யலாம்.

f(x) =sin(x)/x

x=0,எனில்

f(x)=0/0

ஹாஸ்பிடல் விதியை பயன்படுத்தினால் பகுதி(மேலே), தொகுதி(கீழே) தனித்தனியாக வகைக்கெழு கண்டால்

sin(x)  ன் வகைக்கெழு=cos(x),

 (x) ன் வகைக்கெழு=1

sin(x)/x=cos(x)/1=cos(x) =cos(0)=1!!!!!!!!!

************


தொடர் கூட்டு வட்டியில் வருட பங்கீடு(n!!!) முடிவிலியாக இருந்தால் முதலீடு எப்படி வளரும் என்பதை அறிய முயல்வோம்.

இயற்கை மடக்கை[natural logirthm]  எடுப்போம்!!

F= ln(K)

இயற்கை மடக்கை என்றால் 'e' ன் அடிப்படையில் காணுவதே. .இது ஒரு விகிதமுறா எண்[irrational number]. அதிக விடயங்களுக்கு விக்கி பிடியா காண்க!!

The natural logarithm is the logarithm to the base e, where e is an irrational and transcendental constant approximately equal to 2.718281828. The natural logarithm is generally written as ln(x),
log_e(x)

பகுதி ,தொகுதி போல் வந்தால் மட்டுமே எல் ஹாஸ்பிடல் விதி பயன்படுத்த‌ முடியும் என்பதால் கொஞ்சம் மாற்றி எழுதுகிறோம்!.

இப்போது பகுதி, தொகுதி தனித் தனியாக வகைக்கெழு காண

 n=முடிவிலி என பிரதியிட‌

F=rt

          

தொடர் கூட்டு வட்டி முறையில் முதலீடு வளரும் வீத சூத்திரம்
 The formula for continous compound interest is given below

மீண்டும் ஒருமுறை ஞாபகப் படுத்துவோம்!!!

ஆகவே இப்பதிவில் எளிய வட்டி, கூட்டு வட்டி, தொடர் கூட்டு வட்டி என்பதை அறிந்தோம்.இன்னும் தொடர் கூட்டு வட்டியில் நுண்கணிதம் மூலம் சூத்திரம் காண்வும் கற்றோம்!!! முதலீடு 100 ரூபாய், 10% வருட வட்டிவீதத்தில் 20 வருடம் வரை எப்படி அதிகரிக்கிறது என்பதைக் காட்டும் படம்.

P(principal)	Time(Years)	S.I	C.I	C.C.I
100	1	110	110	110.5159
100	2	120	121	122.1377
100	3	130	133.1	134.9817
100	4	140	146.41	149.1763
100	5	150	161.051	164.8636
100	6	160	177.1561	182.2005
100	7	170	194.8717	201.3607
100	8	180	214.3589	222.5356
100	9	190	235.7948	245.9374
100	10	200	259.3742	271.8
100	11	210	285.3117	300.3823
100	12	220	313.8428	331.9704
100	13	230	345.2271	366.8802
100	14	240	379.7498	405.4611
100	15	250	417.7248	448.0992
100	16	260	459.4973	495.2211
100	17	270	505.447	547.2983
100	18	280	555.9917	604.8519
100	19	290	611.5909	668.4577
100	20	300	672.75	738.7524

இக்காணொளியில் நாம் சொன்னது அனைத்தும் விள்க்குகிறார்.
நன்றி!!!!!!!!!!!!!