இடைவெளி எண்கள் கணிதம்[interval numbers mathematics] தெரியுமா?

 

வணக்கம் நண்பர்களே,

இப்பதிவில் கூட்டல்,கழித்தல்,பெருக்கல்,வகுத்தல் கற்போம்.என்ன எனக்கு பரிணாம் எதிர்ப்பாளர்களுடன் விவாதம் செய்து என்னமோ ஆகிவிட்டது என நினக்கிறீர்களா!!!!!!!!.

இல்லை!.அது நமக்கு பிடித்த பொழுதுபோக்கு! இருப்பினும் கொஞ்சம் மாறுதலுக்கு.அதை விட்டுத் தள்ளி கொஞ்சம் வித்தியாசமான் கணிதம் இப்பதிவில் கற்போம்.. நாம் எண்களில் முழு எண்கள்[integers],தசம் எண்கள்[decimal&fraction] ,நேர்& எதிர்[positive,negative] எண்கள்,சிக்கல் எண்கள்[complex numbers] என பல்வகை எண்கள்  கணிதம் கற்று இருப்போம்.இப்பதிவில்  இடைவெளி எண்கள் [interval numbers] பற்றி கற்போம்.

அறிவியல் என்பது இயற்கையின் நிகழ்வுகளை அதன் காரணிகளாக‌ வரையறுத்து, காரணிகளின் தொடர்பை வரையறுத்தல் என்பதே!!!!!!.

அந்த வகையில் நாம் அறிந்த கூட்டல் கழித்தல்,பெருக்கல்,வகுத்தல் என்பவை நம் அன்றாட வாழ்வின் பயன்பாட்டுக்கு உதவுகிறது.

Example

ஒரு கிலோ சர்க்கரை 20 ரூபாய் எனில் 10 கிலோ என்ன விலை எனில் 10*20=200 ரூபாய் என அனைவருக்கும் தெரியும்.

இபோது விலை என்பது நிலையாக் இருக்கிறது,வாங்கும் அளவும் நிலையாக இருக்கிறது.ஆனால் அன்றாட வாழ்விலும்,இயற்கையின் நிகழ்வுகளிலும் மாற்றம் என்பது தவிர்க்க இயலாது.பல் விடயங்கள்  மாறுவது,அது எல்லைக்குள் இருக்கும் பட்சத்தில் எப்படி பாதிப்பை ஏற்படுத்தும் என்பதே இபதிவின் நோக்கம்.

இடைவெளி கணிதம் என்றால் என்ன?

எண்கள்(numbers)  ஒரு இடைவெளிக்குள் இருக்கும். போது கணிதம் சார்ந்த செய்ல்கள்,பயன்பாடுகள் எப்படி வடிவமைக்கப் படுகிறது என்பதுதான்.ஒரு எண் குறைந்த பட்சம்[lower limit],அதிக பட்சம் [upper limit] என்ன மதிப்பு பெறலாம் என்பதும், அதன் எல்லைகள்.இப்படி இருக்கும் போது நம் நிலை எண்கள் கணிதம் எப்படி மாறும் என்பது அறிவதே நம் நோக்கம்.

A=[0,2] எனில் A என்பது '0'ல் இருந்து '2' வரை எந்த மதிப்பாகவும் இருக்கும்.. அடைப்புக் குறிக்குள் இருக்கும் முதல் எண் கீழ் எல்லை[lower limit],இரண்டாம் எண் மேல் எல்லை[upper limit] என கொள்க!.

முதலில் இரு இடைவெளி எண்கள் எடுத்து கூட்டல்,கழித்தல்,பெருக்கல்,வகுத்தல் கற்போம்.இது என்ன பொது விதியாக[Thump rule] கீழ் எல்லைக்கு ஒருமுறையும்,மேல் எல்லைக்கு ஒருமுறையும் செய்தால் விடை எண்ணுக்கு எல்லைகள் கிடைக்கப் போகிறது என்கிறீர்களா!!!!!

இது எப்போதும் சரியாக் இருக்காது என்? யோசியுங்கள்.சரி இரு இடைவெளி எண்களை எடுத்துக் கொள்வோம்.

A=[3,4]

B=[1,2]

1. கூட்டல்

கூட்டலுக்கு  மேலே சொன்ன பொது விதி சரியாகும் கீழ் எல்லைகளை கூட்ட ssssssவேண்டும்.மேல் எல்லைகளை கூட்டவேண்டும்.

A+B=[3,4]+[1,2]=[(3+1),(4+2)]=[4,6]

இப்போது இந்த இரு எண்களுக்கு எந்த் மதிப்பு வேண்டுமானாலும் கூடுதலின் மதிப்பை சரிபார்க்லாம். கூடுதலின் போது எல்லைகள் விரிவடைகிறது என்பதையும் பார்க்க்லாம்.

கண்வன் ,மனைவி இருவரும் ச‌ம்பாதிக்கும் ஒரு குடும்பத்தில் இருவரின் வருவாயும் இது போல் இடை வெளி எண்களாக் கொள்வது ஒரு நல்ல எ.கா.. வருவாய் எப்படி இடைவெளி எண்கள் ஆகும் என்பது திருமணம் ஆனவர்களுக்கு நன்கு புரியும்.

.இந்த கூட்டல் என்பதை இரு எண்கள் மட்டுமல்ல எத்தனை எண்களுக்கு விரிவு படுத்தினாலும் சரிதான்.அனைத்து கீழ்[மேல்] எல்லைகளின் கூடுதல் விடையின் கீழ்[மேல்] எல்லை ஆகும்.

A1[a1,b1]+A-2[a2,b2]+A-3[a3,b3]+…+A-N[an,bn)]

=A [(a1+a2+a3…+an),(b1 +b2+b3+…+ bn) ]

2. கழித்தல்

A=[3,4]

B=[1,2]

கழித்தல் என்பதும் திசை[குறி (sign)] மாற்ற‌ப்பட்ட கூட்டலே என்றால் எளிதாகி விடும்.

என்ன செய்ய வேண்டும்?

A-B=[3,4]-[1,2]

a). கழிக்கப்படவேண்டிய எண்ணின் திசை(குறி) மாற்ற வேண்டும்.

B1=[-1 ,-2]

b) இபோது கீழ் மேல் எல்லை இடம் மாறிவிடும்.(ஏன், எதுக்கு)மாற்றிவிட வேண்டும்.

-B=[-2,-1]

c). பழைய படி கூட்டுங்கள்,

A-B=[3,4]+[-2 ,-1]=[(3-2),4-1)]=[1,3]

இரு எண் அல்லது எதனை என்றாலும் இதே தான் சூத்திரம் 

இதுக்கும் பொது விதி பொருந்தினாலும் சில மாற்றம் செய்தே பொருந்த வைத்தோம் என அறிவது நல்லது.ஒவ்வொரு விதியும் ஒவ்வொரு இடத்தில் கொஞ்சம் மாறுதலாக் சூழல் பொறுத்து பயன் படுத்தப்படுவதுதான் சரி.விதிகளின் எல்லையில் சரியான் மாற்றம் கண்டுபிடிப்பதுதான் பெரும்பாலான் அறிவியல் கொள்கைகளின் சிக்கல்.

3. பெருக்கல்

இது உங்களுக்கே தெரிந்து இருக்கும் .பெருக்கல் என்பது தொடர் கூட்டல் ஆகவே கீழ் எல்லைகள்,மேல் எல்லைகளை பெருக்கி விடவேண்டும்.எத்தனை எண்கள் ஆயினும் இதுவே விதி.பொது விதி மிக சரியாக பொருந்துகிறது.

A=[3,4]

B=[1,2]

A*B=[3,4]*[1,2]=[3,8]

மேலெ கூறிய எளிய முறை  நேர் எண்களே[positive numbers] கீழ்,மேல் எல்லையாக் இருந்தால் மட்டுமே,எத்ர் திசை(negative numbers) எண்கள் இருந்தால் சூத்திரம் கொஞ்சம் மாறும் அதாவது நான்கு வாய்ப்புகளிலும் சிறிய எண் கீழ் எல்லையாகவும் பெரிய எண் மேல் எல்லையாக்வும் ஆகிவிடும்.

A=[a1,a2], B=[b1,b2]

[a1,a2]*[b1,b2]=[ min(a1*b1,a1*b2,a2*b1,a2*b2), max (a1*b1,a1*b2,a2*b1,a2*b2)]

4 .வகுத்தல்

வகுத்தல் என்பது பெருக்கலின் எதிர் செயல். கழித்தலில் குறி மாற்றியது போல் இங்கே வகுக்கப்  படும் எண்ணின் தலைகீழி[reciprocal] ஆக்கி எல்லைகளை இடம் மாற்றி பெருக்கினால்.போதும். .எதற்கும் கழித்த்ல் போல் படிப்படியாகவே விள்க்கி விடலாம்.

A=[3,4]

B=[1,2]

வகுத்தல் என்பதும் தலைகீழி[reciprocal] பெருக்கலே என்றால் எளிதாகி விடும்.

என்ன செய்ய வேண்டும்?

A/B=[3,4]/[1,2]

a). வகுக்கப்ப்பட வேண்டிய எண்ணின் தலைகீழி[reciprocal] காண வேண்டும்..

B1=[1 ,1/2]

b) இபோது கீழ் மேல் எல்லை இடம் மாறிவிடும்.(ஏன், எதுக்கு)மாற்றிவிட வேண்டும்.

1/B=[1/2,1]

c). பழைய படி பெருக்குங்கள்,

A-B=[3,4]*[1/2 ,1]=[(3/2), 4/1)]=[1.5,4]

எதிர் திசை எல்லை எண்[negative limit numbers] பெருக்கல் பற்றியும் பார்த்தோம் அந்த விடயங்கள் கவனத்தில் கொள்ளவேண்டும்.

சரி இந்த இடைவெளி என்களோடு  நிலை எண்களும்[fixed real numbers] பயன்படுத்த வேண்டும் எனில் என்ன செய்வது?

நல்ல கேள்வி

நாம் நிலை எண் என்பது  கீழ்,மேல் எல்லைகள் சம்மாக உள்ள இடைவெளி எண் என்று வரையறுத்தால் பிரச்சினை முடிந்தது.

2=[2,2]

இரு எடுத்துக்காட்டுகளுடன் பதிவை முடிப்போம்.சோதித்து பார்த்து கொள்ளுங்கள்.

Examples

1.)

A = [79.5,80.5],B=[1.795,1.805]

C = A/B^2=[24.4,25]

2

(i) F(A,B,X)=A*X+B

A=[1,2]  

B=[5,7]

If X=[2,3]

F=?

F=[1,2]*[2,3]+[5,7]=[7,13]

(ii) if F=0 what is the value of X

[1,2]*X+[5,7]=0

X*[1,2]=-[5,7]=[-7,-5]

X==[-7,-5]/[1,2]=[-7,-2.5]

ஒரு எளிதான பொது விதியை வைத்து அனைத்து அடிப்படை கணித செயல்களுக்கு விள்க்கம் கற்றோம்.சந்தேகம் இருப்பின் நிவர்த்தி செய்ய முயல்கிறேன்.

இது சுலப‌மாக் தெரிந்தாலும் கணிதத்தின் பயன்பாடுகள் அனைத்துக்கும் இந்த எண்களை பயன்படுத்த முடியும்.அது கொஞ்சம் கடினமாக்  இருக்கும் என்பதால் இப்படி எண்களும் அது சார்ந்த கணிதமும் உண்டு என்பதை மட்டும் இப்பதிவில் அறிந்தால் போதும்.இன்னும் விவரம் கற்க வேண்டுபவர்கள் இந்த விக்கிபிடியா பார்க்க்லாம்.

http://en.wikipedia.org/wiki/Interval_arithmetic

நன்றி