Thursday, August 18, 2011

பிதாகரஸ் தேற்றத்திற்கு முழு எண் தீர்வுகள் கண்டறியும் விதம்


ஃபெர்மேட்டின் கடைசி தேற்றம் குறித்து இன்னும் சில பதிவுகள் எழுத ஆர்வத்தை தூண்டிய சகோ நரேனுக்கு நன்றி.ஃபெர்மேட்டின் தேற்றங்கள் முழு எண் இயலில்(number theroy)  மிக முக்கியத்துவம் பெற்ற்வை.முந்தைய பதிவில் இந்த தேற்றதின் இரண்டாவது பரிமாணத்திற்கு மட்டுமே விடை உண்டு என்று கூறியிருந்தேன்.

இரண்டாம் பரிமானம் என்றால் பிதாகரஸ் தேற்றமே.ஒரு செங்கோண முக்கொணத்தின் பக்கங்கள் முழு எண்களாக வடிவமைக்க முடியுமா என்பதே எளிமையான கேள்வி.அனைவருக்கும் (3,4,5) ,(5,12,13) போன்ற சில தீர்வுகள் அறிந்ததே.இப்பதிவில் இம்மாதிரி எத்தனை தீர்வுகள் வேண்டுமானாலும் கண்டுபிடிக்கும் ஒரு முறையை அறிமுகம் செய்கிறேன்.இந்த ஃபார்முலா எப்படி வந்தது என்றாம் நிரூபனம் தருவதில் விருப்பமே என்றாலும் ப்யன் பாட்டை மட்டும் இப்பதிவில் பார்ப்போம். 

பிதாகஸ் தேற்றத்தின் ஃபெர்மேட் புதிர் இவ்வாறு வரையறுக்கலாம்.

a^2+b^2=c^2,a,b,c are integers(முழு எண்)


தீர்வு ஃபார்முலா மட்டும் தருகிறேன்.நிரூபணம் தேவை என்றால் தருகிறேன்.

p,q =any integers.

 a=2*p*q

b=p^2-q^2

c=p^2+q^2

≠q(not equal)

இப்புதிருக்கு எண்ணற்ற தீர்வுகள் இருப்பதால் p,q  மதிப்பு அளித்து a,b,c மதிப்புகளை பெற்று கொள்ளலாம்.

p=2 ,q=1 எனில் 

a=2*2*1=4,

b=2^2-1^2 =3

 c=2^2+1^2=5

ஒரு எக்ஸெல்(excel sheet) ஷீட்டில் 45 தீர்வுகள் எளிதில் கணக்கிட முடிந்தது. இன்னும் 1 மில்லியன் தீர்வகள் கூட அளிக்க முடியும்.. நிரூபனம் வேண்டும் நண்பர்களுக்கு பின்னூட்டத்தில் அளிக்கிறேன்.

 S.no
          p
         q
          a
          b
         c
1
2
1
4
3
5
2
3
1
6
8
10
3
4
1
8
15
17
4
5
1
10
24
26
5
6
1
12
35
37
6
7
1
14
48
50
7
8
1
16
63
65
8
9
1
18
80
82
9
10
1
20
99
101
10
3
2
12
5
13
11
4
2
16
12
20
12
5
2
20
21
29
13
6
2
24
32
40
14
7
2
28
45
53
15
8
2
32
60
68
16
9
2
36
77
85
17
10
2
40
96
104
18
4
3
24
7
25
19
5
3
30
16
34
20
6
3
36
27
45
21
7
3
42
40
58
22
8
3
48
55
73
23
9
3
54
72
90
24
10
3
60
91
109
25
5
4
40
9
41
26
6
4
48
20
52
27
7
4
56
33
65
28
8
4
64
48
80
29
9
4
72
65
97
30
10
4
80
84
116
31
6
5
60
11
61
32
7
5
70
24
74
33
8
5
80
39
89
34
9
5
90
56
106
35
10
5
100
75
125
36
7
6
84
13
85
37
8
6
96
28
100
38
9
6
108
45
117
39
10
6
120
64
136
40
8
7
112
15
113
41
9
7
126
32
130
42
10
7
140
51
149
43
9
8
144
17
145
44
10
8
160
36
164
45
10
9
180
19
181

10 comments:

  1. good calculation

    ReplyDelete
  2. p should be greater than q, shouldn't it?
    p>q

    ReplyDelete
  3. Dear jeyapal that is also right
    actually p must not be equal to q because b will become zero and a=c

    ReplyDelete
  4. In number theory we look for positive integer solutions so simply take p>q

    ReplyDelete
  5. நன்றி நண்பர் அனானி

    ReplyDelete
  6. நன்றி, போதையார் பாடல் பைதகரஸ் விதிக்கு ஒரு அண்ணளவாக்கம் கூறுகிறது என்று ஒரு வலைப்பூவில் பார்த்தேன்.
    ஓடும் நீளத்தை எட்டுத் துண்டாக்கி
    ஒரு துண்டை நீக்கிக் குன்றத்தில்
    பாதியை சேர்த்தால் வருவது
    கர்ணம் தானே

    ReplyDelete
  7. நானும் பார்த்திருக்கிறேன்.நன்றி நண்பரே

    ReplyDelete
  8. பிதாகரஸ் தேற்றம் முழு எண்கள் தீர்வு பயன் பாடு என்றால் வரலாற்றில் பிரமிடுகள் மாதிரி சில கட்டுமானங்களில் செங்கோண முக்கோண அமைப்பு செங்கல்கள் பயன் படுத்தப் படும்.முழு செங்கல்களே பயன் படுத்த வேண்டும் என்பதால் இம்மாதிரி எண்கள் தேவைப்பட்டது.இந்த எண்களை உற்பத்தி செய்வதை எகிப்தியர்கள் அறிந்து இருந்தார்கள்.
    http://pangea.tec.selu.edu/~smathis/webquest.html

    ReplyDelete