தொகை நுண்கணிதம்[Integral Calculus] என்றால் என்ன? Part 1

வணக்கம் நண்பர்களே!

சில அறிவியல்,கணித தலைப்புகளை எளிமைப்படுத்திய விளக்கம் அளிப்பதின் தொடர்ச்சியாக  இப்பதிவில் தொகை நுண்கணிதம் என்பதை பற்றி பார்ப்போம்.ஏற்கென‌வே சிறுமாற்ற விகிதம் (derivative அல்லது வகைக்கெழு பற்றி முந்தைய பதிவில் பார்த்தோம்.

சிறுமாற்ற விகிதத்தின் எதிர்செயல்தான் தொகை நுண்கணிதம் ஆகும்.சிறுமாற்ற விகிதம் எனில் ஒரு மாறியின் சிறுமாறுதலுக்கு மாறித் தொடர்பு [function] எப்படி மாறுகிறது என்பதன் விகிதம் என்பதை அங்கு பார்த்தோம்.

It is the ratio of function’s change with respect to the small change in (a) variable(s).

இப்பதிவில் தொகை நுண்கணிதம் என்னும் சொல்லின் விள்க்கம்,சில பயன்பாடுகள் எளிய தமிழில் அறிவோம்.

தொகை நுண்கணிதம் என்று மிகசரியாக தமிழாக்கம் செய்த அறிஞருக்கு நம் நன்றி.

சரி  தொகை என்றால் என்ன ?

சரியான தமிழில்  amount என்று தமிழர்கள் அனைவருக்கும் தெரியும்!.

தொகை என்னும் சொல்லுக்கு மொத்த அளவு என விளங்கலாம்.

சரி முதலில் கூட்டல் என்பதை புரிந்து கொள்வோம்! .

என்ன சகோ தொகை நுண்கணிதம் பற்றி அதி அற்புதமாக் விளக்கப் போகிறீர்கள் என வந்தால கூட்டல் என்று சொல்லிக் கொண்டு,அதுதான்  தெரியுமே! என்கிறீர்களா!.

உலகில் உள்ள அனைத்து விடயங்களுமே எளிமையாக பிரித்து அறியப்படவும் எவராலும் உண்ரப்பட்வும் முடியும் என்ற கொள்கை உடையவர்கள் நாம்.அதி அற்புதம்,எங்கும் காணா உன்னதம், ஈடு இணையற்றது. போன்ற விடயங்களை நாம் ஏற‌பது இல்லை.

கணிதத்தில் அனைத்துமே கூட்டலே!

கழித்தல் என்பது திசை மாறிய கூட்டல்

4 –‍ 2 =4+(-2)=2‍‍

பெருக்கல் என்பது தொடர் கூட்டல்

4X2=2+2+2+2+2=8

வகுத்தல் என்பதும் திசைமாறிய தொடர் கூட்டல்

8/2= the no of ‘2’s can be subtracted continuously without becoming a negative number

8+(-2-2-2-2)=0 so 4

கூட்டலில் பலவகை உண்டு.இபோது நாம் பார்த்த பெருக்கல் ,மற்றும் வகுத்தல் ஆகியவை இருபரிமாண கூட்டலுக்கு எடுத்துக் காட்டு ஆகும்.

ஒரு எண்ணை இன்னொரு எண்ணுடன் எத்தனை முறை கூட்டுகிறோம் என்பதுதான் பெருக்கல். இதுதான் இருபரிமாண கூட்டல் .

பரப்பளவு என்பது பெரும்பாலும் பெருக்கலுக்கு பயன்பாடுள்ள‌ ஒரு செயலாகும். ப்ரப்பளவு என்றால் ஒரு அலகு பக்க அளவு உடைய சதுரங்கள் குறிப்பிட்ட பரப்புக்குள் எத்தனை இருக்கிறது என்பதை கண்டறிவதாகும்.

அறிவியலில் அனைத்துமே ஒரு நன்கு வரையறுக்கப்பட்ட அலகு போல் அளக்க வேண்டியதில் எத்தனை இருக்கிறது [relative] என்பதை கூறுவது மட்டுமே என்பதை நினைவுறுத்த வேண்டுகிறேன்.

சரி தொகை என்று ஆரம்பித்து கூட்டலில் வந்து நன்கு விள்ங்கி விட்டொம்.நுண்கணிதம் என்றால் சிறுமாற்ற விகிதத்தின் அடிப்படையில் தொடர்புகளை உருவாக்குதல்,கணித்தல் என கூறலாம்.

சரி தொகை நுன்கணிதம் என்றால் என்ன?

முதலில் ஒரு கதை சொல்கிறேன்

ஒரு பேராசை கொண்ட மனிதன் இருந்தான். ஒரு இடத்தில் நிலம் குறைந்த விலைக்கு  விற்பதாக தக்வல் அறிந்து அங்கு சென்றான்.என்ன விலை நிலம் என்றான்.அதற்கு அவர்கள் ஒரு நாள் நிலம் 1 இலட்சம் ரூபாய் என்றார்கள்.நம் பேராசை  நண்பருக்கு ஒன்றும் புரியவில்லை. அது என்ன ஒருநாள் நிலம், முதல்வன் பட ஒரு நாள் முதல்வர் மாதிரியா என அப்பாவியாக கேடக,அதற்கு அவர்கள் எங்களிடம் ஒரு இலட்சம் ரூபாய் கொடுத்து விட்டு அதிகாலை சூரியன் உதிப்பில் இருந்து ஓட ஆரம்பித்து மறையும் முன் எவ்வள்வு பரப்பு உன்னால சுற்றி தொடங்கிய இடத்திற்கு வர முடியுமோ அவ்வளவும் உனக்குத்தான் என்றார்கள்..ஆனால மறையும் முன் தொடங்கிய இடம் வர வேண்டும்.ஓடும் போது சில கொடிகளை நட்டு ஓடும் பாதையை அடையாளம் காட்ட வேண்டும் என்றார்கள்.

ஆஹா என்ன அபாரமான் விடயம்.உடனே கொடுத்தார் ஒரு இலட்சம்.அடுத்த நாள் அதிகாலையில் அனைவரிடமும் சொல்லி தொடங்கும் இடத்தை நன்கு குறித்து ஓடத் தொடங்கினார். நண்பர் நிலப் பிரியன். ஒரு பெரிய சதுரம் போடுவது அவர் எண்ணம். காலை 6 மணி முதல் சாயங்காலம் 6 மணி வரை 12 மணி நேரம்.ஆகவே கிழக்கில் மூன்றுமணி,பிறகு வடக்கு,மேற்கு,தெற்கு என தலா மூன்றுமணி நேரம் ஓடி தொடங்கிய இடத்திற்கே வருவது அவர் நோக்கம்.

ஓடினார் கிழக்கில் மூன்று மணி நேரம் பிறகு கொடியை நட்டார்.திரும்பினார் வடக்கே மூன்று மணி நேரம். கொடியை நட்டார்.காலகள் தடுமாறியது.தாகம் பசி எடுத்தது.இருந்த தண்ணீர் மட்டும் குடித்தார்.பேசாமல் குறுக்கே சென்று தொடங்கிய இடத்தை அடையலாம அப்படி எனில் முக்கோணம் போல் ஆகிவிடும்,நாம் நினைத்ததில் பாதியா எனக்கு முழுதும் வேண்டும் என மேற்கே முக்கி முனகி மூன்று மணி நேரம் ஓடினார்.ஓடி ஓடி மயக்கம் வந்து விட்டது. மூன்று மணி நேரம் ஆனதும் திருப்பி தெற்கே அவரால் நடக்கவே முடியவில்லை.உயிரை கையில் பிடித்து ஓடினார்.சூரியன் மறைவது போல் இருந்தால் மிக வேகமாக சக்தியெல்லாம் திரட்டி ஓடி தொடங்கும் இடம் தெரியும் அளவு வந்து விட்டார்.

இன்னும் கொஞ்ச தூரம் என்னும் போது மயங்கி விழுந்தார்.அனைவரும் வந்து பார்த்த போது அவர் உயிருடன் இல்லை.

அவருக்கு கிடைத்த‌து 6 க்கு 3 அடி நிலம் மட்டுமே!

ஆமா இந்த கதை எதுக்கு என்கிறீர்களா.பரப்பளவு, பயணித்த தூரமும் வருகிற‌து அல்லவா அதுக்குத்தான்!

என்ன சகோ இப்படி ஓ பி அடிக்கிறீங்க நீங்கள் என்ன ஆசிரியரா என்றால் நாம் என்றுமே மாண்வன் என்றே பணிவுடன் அடகத்துடன் கூறுகிறோம்.

சரி சகோ போதும் தொகை நுண்கணிதம் செல்ல‌லாம என்றால் சரி செல்வோம்.

"தொகை நுண்கணிதம் என்பது ஒரு மாறித் தொடர்பு, அதன் எல்லைகளால்  அடைபடும் பரப்பளவு கணிப்பது ஆகும்" 

Integral is defined informally to be the area of the region in the xy-plane bounded by the graph of f, the x-axis, and the vertical lines x = a and x = b, such that areas above the axis add to the total, and the area below the x axis subtract from the total.

இப்ப சொல்லுங்க சொன்ன கதை,விவரங்களுக்கு தொடர்பு இருக்கிறதா இல்லையா!

இக்கதை சொல்லும் நீதி என்ன ?

"பயணிக்கும் பாதை சரியான இடத்திற்கு கொண்டு செல்லுமா என்பதை அறிவதே சிறப்பு"

இப்போது ஒரு கேள்வி கதையில் நண்பர் நிலப்பிரியன் சதுரம் அமைக்க ஓடினார். 

தூரம் குறைவாக ஓடி அதிக பரப்பு அடைய வேண்டுமெனில் எப்படி ஓட வேண்டும்?. அதாவது பயணிக்கும் பாதை எந்த வடிவில் இருக்க வேண்டும்?.

சிந்திக்க மாட்டீர்களா!!!!!!!! 

அது என்னமோ, என்ன மாயமோ தெரியலை இந்த பதிவு முழுதும் கதை கதையாக  வருகிறது. ஆகவே அடுத்த பதிவில் நாம் தொகை நுண்கணிதம் உண்மையிலேயே கற்போம்.

நன்றி