Thursday, April 19, 2012

தொகை நுண்கணிதம்[Integral Calculus] என்றால் என்ன? Part 1



வணக்கம் நண்பர்களே!

சில அறிவியல்,கணித தலைப்புகளை எளிமைப்படுத்திய விளக்கம் அளிப்பதின் தொடர்ச்சியாக  இப்பதிவில் தொகை நுண்கணிதம் என்பதை பற்றி பார்ப்போம்.ஏற்கென‌வே சிறுமாற்ற விகிதம் (derivative அல்லது வகைக்கெழு பற்றி முந்தைய பதிவில் பார்த்தோம்.

சிறுமாற்ற விகிதத்தின் எதிர்செயல்தான் தொகை நுண்கணிதம் ஆகும்.சிறுமாற்ற விகிதம் எனில் ஒரு மாறியின் சிறுமாறுதலுக்கு மாறித் தொடர்பு [function] எப்படி மாறுகிறது என்பதன் விகிதம் என்பதை அங்கு பார்த்தோம்.

It is the ratio of function’s change with respect to the small change in (a) variable(s).

இப்பதிவில் தொகை நுண்கணிதம் என்னும் சொல்லின் விள்க்கம்,சில பயன்பாடுகள் எளிய தமிழில் அறிவோம்.

தொகை நுண்கணிதம் என்று மிகசரியாக தமிழாக்கம் செய்த அறிஞருக்கு நம் நன்றி.

சரி  தொகை என்றால் என்ன ?

சரியான தமிழில்  amount என்று தமிழர்கள் அனைவருக்கும் தெரியும்!.

தொகை என்னும் சொல்லுக்கு மொத்த அளவு என விளங்கலாம்.

சரி முதலில் கூட்டல் என்பதை புரிந்து கொள்வோம்! .

என்ன சகோ தொகை நுண்கணிதம் பற்றி அதி அற்புதமாக் விளக்கப் போகிறீர்கள் என வந்தால கூட்டல் என்று சொல்லிக் கொண்டு,அதுதான்  தெரியுமே! என்கிறீர்களா!.

உலகில் உள்ள அனைத்து விடயங்களுமே எளிமையாக பிரித்து அறியப்படவும் எவராலும் உண்ரப்பட்வும் முடியும் என்ற கொள்கை உடையவர்கள் நாம்.அதி அற்புதம்,எங்கும் காணா உன்னதம், ஈடு இணையற்றது. போன்ற விடயங்களை நாம் ஏற‌பது இல்லை.

கணிதத்தில் அனைத்துமே கூட்டலே!

கழித்தல் என்பது திசை மாறிய கூட்டல்

4 –‍ 2 =4+(-2)=2‍‍

பெருக்கல் என்பது தொடர் கூட்டல்

4X2=2+2+2+2+2=8

வகுத்தல் என்பதும் திசைமாறிய தொடர் கூட்டல்

8/2= the no of ‘2’s can be subtracted continuously without becoming a negative number

8+(-2-2-2-2)=0 so 4

கூட்டலில் பலவகை உண்டு.இபோது நாம் பார்த்த பெருக்கல் ,மற்றும் வகுத்தல் ஆகியவை இருபரிமாண கூட்டலுக்கு எடுத்துக் காட்டு ஆகும்.

ஒரு எண்ணை இன்னொரு எண்ணுடன் எத்தனை முறை கூட்டுகிறோம் என்பதுதான் பெருக்கல். இதுதான் இருபரிமாண கூட்டல் .

பரப்பளவு என்பது பெரும்பாலும் பெருக்கலுக்கு பயன்பாடுள்ள‌ ஒரு செயலாகும். ப்ரப்பளவு என்றால் ஒரு அலகு பக்க அளவு உடைய சதுரங்கள் குறிப்பிட்ட பரப்புக்குள் எத்தனை இருக்கிறது என்பதை கண்டறிவதாகும்.

அறிவியலில் அனைத்துமே ஒரு நன்கு வரையறுக்கப்பட்ட அலகு போல் அளக்க வேண்டியதில் எத்தனை இருக்கிறது [relative] என்பதை கூறுவது மட்டுமே என்பதை நினைவுறுத்த வேண்டுகிறேன்.

சரி தொகை என்று ஆரம்பித்து கூட்டலில் வந்து நன்கு விள்ங்கி விட்டொம்.நுண்கணிதம் என்றால் சிறுமாற்ற விகிதத்தின் அடிப்படையில் தொடர்புகளை உருவாக்குதல்,கணித்தல் என கூறலாம்.

சரி தொகை நுன்கணிதம் என்றால் என்ன?

முதலில் ஒரு கதை சொல்கிறேன்

ஒரு பேராசை கொண்ட மனிதன் இருந்தான். ஒரு இடத்தில் நிலம் குறைந்த விலைக்கு  விற்பதாக தக்வல் அறிந்து அங்கு சென்றான்.என்ன விலை நிலம் என்றான்.அதற்கு அவர்கள் ஒரு நாள் நிலம் 1 இலட்சம் ரூபாய் என்றார்கள்.நம் பேராசை  நண்பருக்கு ஒன்றும் புரியவில்லை. அது என்ன ஒருநாள் நிலம், முதல்வன் பட ஒரு நாள் முதல்வர் மாதிரியா என அப்பாவியாக கேடக,அதற்கு அவர்கள் எங்களிடம் ஒரு இலட்சம் ரூபாய் கொடுத்து விட்டு அதிகாலை சூரியன் உதிப்பில் இருந்து ஓட ஆரம்பித்து மறையும் முன் எவ்வள்வு பரப்பு உன்னால சுற்றி தொடங்கிய இடத்திற்கு வர முடியுமோ அவ்வளவும் உனக்குத்தான் என்றார்கள்..ஆனால மறையும் முன் தொடங்கிய இடம் வர வேண்டும்.ஓடும் போது சில கொடிகளை நட்டு ஓடும் பாதையை அடையாளம் காட்ட வேண்டும் என்றார்கள்.

ஆஹா என்ன அபாரமான் விடயம்.உடனே கொடுத்தார் ஒரு இலட்சம்.அடுத்த நாள் அதிகாலையில் அனைவரிடமும் சொல்லி தொடங்கும் இடத்தை நன்கு குறித்து ஓடத் தொடங்கினார். நண்பர் நிலப் பிரியன். ஒரு பெரிய சதுரம் போடுவது அவர் எண்ணம். காலை 6 மணி முதல் சாயங்காலம் 6 மணி வரை 12 மணி நேரம்.ஆகவே கிழக்கில் மூன்றுமணி,பிறகு வடக்கு,மேற்கு,தெற்கு என தலா மூன்றுமணி நேரம் ஓடி தொடங்கிய இடத்திற்கே வருவது அவர் நோக்கம்.

ஓடினார் கிழக்கில் மூன்று மணி நேரம் பிறகு கொடியை நட்டார்.திரும்பினார் வடக்கே மூன்று மணி நேரம். கொடியை நட்டார்.காலகள் தடுமாறியது.தாகம் பசி எடுத்தது.இருந்த தண்ணீர் மட்டும் குடித்தார்.பேசாமல் குறுக்கே சென்று தொடங்கிய இடத்தை அடையலாம அப்படி எனில் முக்கோணம் போல் ஆகிவிடும்,நாம் நினைத்ததில் பாதியா எனக்கு முழுதும் வேண்டும் என மேற்கே முக்கி முனகி மூன்று மணி நேரம் ஓடினார்.ஓடி ஓடி மயக்கம் வந்து விட்டது. மூன்று மணி நேரம் ஆனதும் திருப்பி தெற்கே அவரால் நடக்கவே முடியவில்லை.உயிரை கையில் பிடித்து ஓடினார்.சூரியன் மறைவது போல் இருந்தால் மிக வேகமாக சக்தியெல்லாம் திரட்டி ஓடி தொடங்கும் இடம் தெரியும் அளவு வந்து விட்டார்.

இன்னும் கொஞ்ச தூரம் என்னும் போது மயங்கி விழுந்தார்.அனைவரும் வந்து பார்த்த போது அவர் உயிருடன் இல்லை.

அவருக்கு கிடைத்த‌து 6 க்கு 3 அடி நிலம் மட்டுமே!

ஆமா இந்த கதை எதுக்கு என்கிறீர்களா.பரப்பளவு, பயணித்த தூரமும் வருகிற‌து அல்லவா அதுக்குத்தான்!

என்ன சகோ இப்படி ஓ பி அடிக்கிறீங்க நீங்கள் என்ன ஆசிரியரா என்றால் நாம் என்றுமே மாண்வன் என்றே பணிவுடன் அடகத்துடன் கூறுகிறோம்.

சரி சகோ போதும் தொகை நுண்கணிதம் செல்ல‌லாம என்றால் சரி செல்வோம்.

"தொகை நுண்கணிதம் என்பது ஒரு மாறித் தொடர்பு, அதன் எல்லைகளால்  அடைபடும் பரப்பளவு கணிப்பது ஆகும்" 

\int_a^b \! f(x)\,dx \,

Integral is defined informally to be the area of the region in the xy-plane bounded by the graph of f, the x-axis, and the vertical lines x = a and x = b, such that areas above the axis add to the total, and the area below the x axis subtract from the total.

இப்ப சொல்லுங்க சொன்ன கதை,விவரங்களுக்கு தொடர்பு இருக்கிறதா இல்லையா!

இக்கதை சொல்லும் நீதி என்ன ?

"பயணிக்கும் பாதை சரியான இடத்திற்கு கொண்டு செல்லுமா என்பதை அறிவதே சிறப்பு"



இப்போது ஒரு கேள்வி கதையில் நண்பர் நிலப்பிரியன் சதுரம் அமைக்க ஓடினார். 

தூரம் குறைவாக ஓடி அதிக பரப்பு அடைய வேண்டுமெனில் எப்படி ஓட வேண்டும்?. அதாவது பயணிக்கும் பாதை எந்த வடிவில் இருக்க வேண்டும்?.

சிந்திக்க மாட்டீர்களா!!!!!!!! 

அது என்னமோ, என்ன மாயமோ தெரியலை இந்த பதிவு முழுதும் கதை கதையாக  வருகிறது. ஆகவே அடுத்த பதிவில் நாம் தொகை நுண்கணிதம் உண்மையிலேயே கற்போம்.

நன்றி

11 comments:

  1. நல்லத் தகவல்கள் !

    //சிந்திக்க மாட்டீர்களா!!!!!!!! //

    சிந்திப்பவர்களுக்கு இதில் நற்சான்று இருக்கிறது.
    :)

    ReplyDelete
  2. Clear introduction
    thank u sir
    your work is remarkable

    ReplyDelete
  3. அருமை தொடருங்கள்.
    விக்கிபீடியாவில் படித்தேன் புரியவில்லை.
    அதனால் எளிமையாக விளக்குங்கள்.

    tragedy வகை கதை வேண்டாம். பாவம் கதநாயகன். இலட்ச ரூபாயையும் குடுத்து உயிரையையும் விட்டுவிட்டார். உடல் மண்ணுக்கு உயிர் நுண் எண்கணிதத்திற்கு -:)

    சிந்திக்கவே மாட்டீங்களா, எங்கள் அப்பாஸித் காலிஃபா இல்லாவிட்டால் நுண் எண்கணிதம் வந்திருக்கமா. அதனால் இதுதான்..................

    ReplyDelete
  4. நண்பர் நரேன் வாங்க,

    கற்றல் என்பது ஈடுபாட்டுடன்,இரசித்து செய்யும் ஒரு செயலாகவே நாம் கற்க கற்றுக் கொடுக்க முயல்கிறோம்.இப்பதிவில் நாம் கூறியதே ஒரே ஒரு வரி.

    தொகை நுண்கணிதம் என்பது

    "மாறித் தொடர்பு,அதன் எல்லைகள்(நேர் கோடுகள்) ஆகியவற்றால் சுற்றி வளைக்கப்பட்ட பரப்பளவு"

    நாம் ஒவ்வொரு அறிவியல் வரையறுப்பையும் ஒரே வரியில் எளிய தமிழில் சொல்ல முடியுமா என்ற ஆய்வில் இறங்கி முயற்சிக்கிறோம். இந்த ஒரு வரியில் புரியாத விடயம் என்றால் எல்லைகள் என்பது என்ன? இத்னை அடுத்த பதிவில் விள்க்குவோம்.

    &&&&&&&&

    மற்றபடி சகோ நிலப்பிரியன் முடிவு நம்க்கு வருத்தம் அளிக்கிறது எனினும் உலகே தங்களுக்கு வேண்டும் என்ற பேராசை இப்படி அழிவுக்கே இட்டுச் செல்லும் என்பதில் மாற்றுக் கருத்து இல்லை.

    இந்த கதை கூட ஒரு மேலைநாட்டு [middle east] கதைதான்.அறிவியல்,பாரப்டசமற்ற சமூக முன்னேற்றங்களுக்கு வித்திட்ட வரலாற்று மாம்னிதர்கள் அனைவரையும் மதிக்கிறோம் போற்றுகிறோம்!.

    பூமியின் சுற்றள‌வு அளந்த மாமேதை அல் பைரூனி பற்றி கூட ஒரு பதிவு இட்டு இருக்கிறோம்.

    அறிவியல் முன்னேற்ற‌ங்கள் நிகழ்வது கால்த்தின் கட்டாயம்.ஒருவர் இல்லையெனில் இன்னொருவர் கண்டுபிடித்து விடுவார்.ஒரே கண்டுபிடிப்பை பல்பேர் ஒரே சம்யத்தில் கண்டுபிடித்து போட்டி போட்டதும் அறிவியலில் வரலாறு உண்டு.

    பரிணாம கொள்கையின் இபோதைய செய்லாக்க்கமான இயற்கைத் தேர்வை டார்வின் முன் மொழிந்திராவிட்டாலும் ரஸ்ஸல் ஆல்பர்ட் வால்லஸ் கண்டுபிடித்து இருப்பார்.

    கண்டுபிடிப்பே முக்கியம்.கண்டுபிடித்தவருக்கு வரலாற்றில் ஒரு இடம் மட்டுமே!.அதைவிட சிறந்த கண்டுபிடிப்பு வந்தால் முந்தைய விடயங்கள் மறக்கப்படும்.

    இதுவே உலக நியதி!!!!!!

    நன்றி

    ReplyDelete
  5. நண்பரே,

    Thank GOD the blog is alive and kicking: LOL -:)

    யாருடைய சதி? யூதர்களா, நஜராக்களா, காக்கி ட்ரவுஸர் இந்துத்வாதிகளா இல்லை எல்லாம் வல்ல கூகுள் ஆண்டவரா?

    ReplyDelete
  6. சகோ எங்கே இரண்டு நாட்களாக உங்கள் தளத்தை காண முடியவில்லை? எல்லாம் நலம் தானே

    ReplyDelete
  7. வாங்க நண்பர்கள் நரேன், புரட்சி மணி
    என்ன கரணம் என்று தெரியவில்லை.Log on ல் இருந்த கணிணியும் க்ராஷ் ஆகியது இரு நாட்கள் கழித்தே சரிச் செய்ய முடிந்தது.
    மற்றபடி அனைத்தும் எப்போதும் போல்தான்.
    ha ha ha All in the Game!!!!!

    நன்றி

    ReplyDelete
  8. சகோ, பாதுகாப்பா வந்திட்டிங்க. சார்வகான் இன்னும் வந்து மைனஸ் ஓட்டு போடலையா என்று ஏக இறைவன் பிரசார பதிவென்றிலே திரு மொஹமெட் இப்ரஹிம்(அமினாஅக்கா) கேட்ட போதே எனக்கு பயம் பிடிச்சிடிச்சு.

    ReplyDelete
  9. வாங்க சகோ குயிக்ஃபாக்ஸ்

    என்ன கொஞ்சம் தொழில்நுட்ப பிரச்சினை.நம் சகோதரர்களுக்காக எப்போதும் எழுதுவோம் எனினும் பரிணாம் எதிர்ப்பு பதிவுகள் வருவது குறைவதால் நம்க்கும் போர் அடிக்கிறது மற்ற‌ பிரச்சாரப் பதிவுகளை கண்டு கொள்வது இல்லை.எரிச்சல் ஊட்டினால் மட்டும் மைனஸ் ஓட்டு

    சரி ஃபர்தா பற்றி பதிவு போட்டு தாக்குகிறார்கள் என்பதால் அது பற்றிய முல்லா நசுருத்தீன் கதை ஒன்று

    முல்லாவிற்கு திருமணம் முடிந்தது.அவர் சார்ந்த சமுக்கத்தில் பெண்ணை திருமணம் முடிந்தே பார்க்க இயலும்.முதன் முதலில் மனைவியின் முகத்தை பார்க்க ஆசைப்பட்டார். இருவரும் த்னிமையில் இருந்த போது மனைவியின் முகத்தை திரைநீக்கி பார்த்தார் ,மிகவும் அழகற்ற‌வளாக இருந்ததால் சோகமாகி விட்டார்.அச்சமயத்தில் திருமதி முல்லா "பிராண நாதா நம் சமூக வழக்கப்படி எவரிடம் எல்லாம் முகத்தை காட்டலாம்?" என முல்லாவிடம் கேட்டார்.

    அதற்கு "யாரிடம் வேண்டுமானாலும் முகத்தை காட்டு என்னைத்தவிர" என்று அமைதியாக கூறினார்.

    ஹா ஹா ஹா

    ReplyDelete
  10. @sarvaKhan

    I know u for long time(from Pagadu) but now only visited ur blog... And i regret that i didnt visited it before... Its awesome.... Instead of blaming religion if we spread scien the evil of religion will automatically die... Keep up the gud work...

    ReplyDelete
  11. வாங்க சகோ ஜெனில்
    நமக்கு தொழில் தேடல்.அது மதமோ,அறிவியலோ வித்தியாசம் இல்லை.உண்மையை அறிய முயல்கிறோம்,தவறுகளையும் அறிந்து திருத்திக் கொள்ள விழைகிறோம்.அவ்வளவுதான்.அடிக்கடி வாங்க!
    நன்றி

    ReplyDelete