Sunday, April 8, 2012

டெய்லர் தொடர் வரிசையின் நிரூபணம்


டெய்லர்  தொடர் வரிசையின் நிரூபணம்

வணக்கம் நண்பர்களே!

டெயலர் தொடர் வரிசை என்பது குறித்து உங்களில் பெரும்பானமையோர் அறிந்து இருக்கலாம.இத்தொடரில் அதற்கு நிரூபணம் தருவது எப்படி என்பதை எளிதாக கற்போம்.

சரி தொடர்வரிசை என்றால் என்ன?

ஒரு குறிபிட்ட எண்களோ , மாறிகளின் தொடர்போ[function of variables] ஒரு குறிப்பிட்ட சார்பு வீதத்தில் முன் செல்வது என கூறலாம், இப்பப்டிப்பட்ட கூட்டுத் தொடருக்கு பல சம்யங்களில்நிலையான எண்[finite number] அல்லது நிலையான மாறித் தொடர்பு[finite function] விடை உண்டு.

ஏன் பல சமயங்களில் என்று கூறுகிறோம்? சில சமயம் விடை முடிவிலி கிடைக்கலாம் என்பதற்காக அப்படி கூறினோம்.அப்போது முடிவிலி நிலையான எண் இல்லையா எனில் ,இதனை இல்லை என்று ஏற்கெனவே இப்பதிவில் கூறியுள்ளோம். நண்பர்கள் எப்போதும் ஒரு விடயத்தை மனதில் இருத்த வேண்டும்,ஒவ்வோரு விதிக்கும் எல்லைகள் உண்டு,எல்லைகளில் விதியை பொருத்துவதற்கு சில  மாறுதல்களை செய்ய வேண்டும்.

ஆகவெ முதலில் கற்கும் நண்பர்கள் எளிய வழியில் எந்த வித ஐயத்திற்கும் இடமில்லாத‌ விதி பொருந்தும் இடைவெளிகளில் நன்கு கற்று ஆராய்ந்து பிறகு விதியை சிறிது மாறுதலுடன் பயன்படுத்த வேண்டிய எல்லைகளுக்கு செல்வது நல்லது.  

இதன் எதிர் வினையும் உண்மையே ஒரு மாறித் தொடர்பு ,அல்லது நிலை எண்ணை முடிவிலி[அல்லது முடிவுறும்] கூட்டுத் தொடராக வரையறுக்க முடியும்.
.கா  

a)1,+2+,+3+4+5+,...+.n=n(n+1)/2

 b)
e^{x} = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots\quad\text{ for all } x\!


ஆகவே எளிதாக கூறினால் (பல) முடிவிலி தொடருக்கு சமமான நிலை எண் அல்லது ஒரு நிலையான் மாறித் தொடர்பு[function of variables] காண முடியும்.

இத எதிர்வினையும் உண்மையே

பல‌ நிலையான‌ மாறித் தொடர்புகளை [finite functions] முடிவிலி தொடராக எழுத முடியும்.

“A finite function can be expressed in terms of an infinite sum “

“Finite function=continuously differentiable”

நிலையான் மாறித் தொடர்பு எனில் தொடர்ச்சியாக சிறுமாற்ற விகிதம் கண்டறியத் தக்கது என பொருள் கொள்கிறோம்.

இப்பதிவில் எதிர்வினையை பற்றி மட்டுமே பார்க்கப்போகிறோம்.அப்போது முடிவிலி தொடர்களின் கூடுதலை நிலை எண் அல்லது மாறித் தொடர்பாக மாற்றுவது குறித்து கற்போம் என்கிறீர்களா. அதுவும் பிறகு முயற்சி செய்வோம்!
                                             

இப்போது எதிர்வினையான  ஒரு மாறித் தொடர்பை முடிவிலி தொடர்பாக எழுதுவதை கற்போம்.

என்ன கொஞ்சம் சிக்கலாக் இருப்பது போல் உள்ளதா!.சரி மிக மிக எளிமையாக் பேசுவோம்.

"ஒரு எதிர்கால சூழல் ஆனது கடந்தகால் நிகழ்கால சூழலை பொறுத்து இருக்கிறது"

இது என்ன மகா பெரிய தத்துவம்? இதுதான் அனைவருக்குமே தெரியுமே என்றால் அப்பாடா உங்களுக்கு புரியும் வகையில் பேசுவது நம்க்கு மகிழ்வே!.நாம் எழுதுவது உங்களுக்கு புரியவில்லை,அல்லது பிடிக்கவில்லை எனில் எழுதாமல் இருப்பதே நலம் என நினைக்கிறேன்.

ஆகவே புரியும் வகையில் மட்டுமே எளிமையாக் எப்போதும் எழுதுவோம் எனவே கூறுகிறோம்.

ஒரு இடத்தில் ஒரு மாறக்கூடிய  சூழலில் இருக்கிறோம்.தில் இருந்து அருகே உள்ள இன்னொரு இடத்திற்கு செல்ல வேண்டும்.நாம் உள்ள இடத்தில் அறிந்த விவரங்களைக் கொண்டு அருகே உள்ள இடத்தின் சூழலை  அறிய முயல்வதுதான் இந்த தொடர்வரிசை கணித்தல் [prediction or extrapolation] என கூறலாம்.

இபோது நாம் இருக்கும் இடம் 3, இத்ற்கு முன் 2,அதற்கு முன்1 எனில் இத்தொடர் வரிசை எப்படி இருக்கும்?

1,2,3,4,5,6,7 என்று இருக்க வேண்டும்.இது சரிதான் என்றாலும் எப்போதும் சரியாக இருக்க வேண்டிய அவசியம் இல்லை.மொத்தம் மூன்று அள்வுகளை வைத்து இன்னும் மூன்று அள்வுகளை கணிப்பது என்பது பல நிகழ்வுகளில் சரியாக இருக்காது.அது பற்றி பிறகு பார்ப்போம்.

டெய்லர் தொடர் என்பது ஒரு  (முதல்) புள்ளியின் சூழல் குறித்த அளவைகள் கொண்டு  அறிந்து அருகே உள்ள  இன்னொரு (இரண்டாம்) புள்ளியின் சூழலை அள்ப்பது என கொள்ளலாம்.


f(x+a)=
 f(a)+\frac {f'(a)}{1!} (x-a)+ \frac{f''(a)}{2!} (x-a)^2+\frac{f^{(3)}(a)}{3!}(x-a)^3+ \cdots.
If a=0
  f(x)=f(0)+f^'(0)x+(f^('')(0))/(2!)x^2+(f^((3))(0))/(3!)x^3+...+(f^((n))(0))/(n!)x^n+....

x=இப்போதைய (முதல்) புள்ளி

f(x)= (முதல்) புள்ளியின் சூழலின் அளவு

a=அருகாமை தூரம்

x+a= அருகாமை (இரண்டாம்)   புள்ளி

f(x+a)= அருகாமை  ((இரண்டாம்)  புள்ளியின் சூழலின் அளவு


f’(x)= முதல் சிறுமாற்ற விகிதம்[first derivative]

f2(x)= இரண்டாவது சிறுமாற்ற விகிதம்
..
.
.

fN(x)= N வது சிறுமாற்ற விகிதம்

N=1,2,3,…ω

ஆகவே டெய்லர் தொடர்வரிசை என்பது முதல் புள்ளியின் அள்வு,சூழ,சூழலின் மாற்றங்களின் அடுக்குகளின் அள்வுகள் மூலம் அடுத்த புள்ளியின் சூழலின் அளவை கணிக்கிறோம்.

"ஆகவே எந்த ஒரு சிக்க்லான மாறித் தொடர்பையும் முடிவிலி எளிய மாறித் தொடர் அமைப்புகளாக் பிரிக்க இயலும்"

“Any function of higher order complexity can be expressed as a summation of simple power series”.


எங்கிருந்து எங்கே வருகிறோம் என புரிகிறதா?

சிறுமாற்ற விகிதம்[derivative] கண்டு பிடிக்கத் தெரிந்தால் கண்டறிந்து மதிப்புகளை பிரதியிட்டால் டெய்லர் தொடர் தேர்வு ரீதியாக முடிந்தது.ஆனால் அது என்ன என்பதையே அவதானிக்கிறோம்.

இப்போது நிரூபணத்திற்கு செல்வோம்

டெய்லர் தொடர்வரிசை அடுக்குத் தொடர் வரிசையின் ஒரு வகை ஆகும். அடுக்குத் தொடர் வரிசையின் குணகங்களை(coefficients) கண்டறிந்தால் டெய்லர் தொடர்வரிசை தயார் ஆகிவிடும்.

அடுக்குத் தொடர் வரிசை என்றால் என்ன எந்த ஒரு சிக்கலான மாறித் தொடர்பையும் முடிவிலி எளிய மாறி அடுக்குகளின் கூட்டுத் தொடர் வரிசையாக் கூற முடியும்.

f(x) = \sum_{n=0}^\infty a_n \left( x-c \right)^n = a_0 + a_1 (x-c)^1 + a_2 (x-c)^2 + a_3 (x-c)^3 + \cdots

a0,a1,a2,… கண்டறிந்தால் டெயலர் தொடருக்கு நிரூபணம் ஆகிவிடும்.

இப்போது x=c என பிரதியிடுவோம்.

f(c)=a0

இபோது முதல் சிறுமாற்ற விகிதம் கண்டு பிடித்து மீண்டும் x=c என பிரதியிட்டால் a1 ன் மதிப்பு கிடைக்கும்

f(x)=0+a1+2*a2*(x-c)+3a3(x-c)2+….+n.an.(x-c)(n-1)+….

இப்போது x=c என பிரதியிடுவோம்.

f1[c]=a1
…..
f 2[c]/(2!)=a2

….

f n[c]/(n!)=an

இந்த மதிப்புகளை அடுக்குத் தொடர் வரிசையில் பிரதியிட்டால் டெய்லர் தொடர் கிடைக்கும்.


f(x+a)=
 f(a)+\frac {f'(a)}{1!} (x-a)+ \frac{f''(a)}{2!} (x-a)^2+\frac{f^{(3)}(a)}{3!}(x-a)^3+ \cdots.


If a=0 என பிரதியிட்டால் மெக்லாரின் தொடர்வரிசை கிடைக்கும்.

  f(x)=f(0)+f^'(0)x+(f^('')(0))/(2!)x^2+(f^((3))(0))/(3!)x^3+...+(f^((n))(0))/(n!)x^n+....




ஆகவே டெய்லர் தொடர்வரிசை நிரூபிக்கப்பட்டது.


இப்போது விதண்டாவாதம்

சரி அடுக்குத் தொடர் வரிசையில் இருந்து டெயலர்,மெக்லாரின் தொடர்வரிசை கண்டு பிடித்தோம் இதை எப்படி நிரூபணமாக் எடுக்க முடியும்?. இது அடுக்குத் தொடர்வரிசை எந்த அளவு உண்மையோ ,டெய்லர் தொடர்வரிசையும் அந்த அளவே உண்மையாக் இருக்க முடியும்???????????.

சரியான் கருத்து எனினும் அடுக்குத் தொடருக்கு இன்னொரு அடிப்படை இப்படியே ஒன்று[1] என்ற எண்ணின் வரையறை வரை செல்லும்.அடுக்குத் தொடரின் நிரூபண்ம் கொஞ்சம் கடினம்!!!!!!!!!!!!!.

கடினம் என்ற சொல்லை அதற்கு இன்னும் பல் அடிப்படைத் தேற்றங்கள் தேவைப்படும் என்ற பொருளிலேயே கூறுகிறோம்.தொடர்சியான் எளிய அமைப்புகளின் கூட்டமைப்பு சிக்க்லான அமைப்பை உருவாக்கும் என்பதையும் அடுக்குத் தொடர் வர்சையில் இருந்து அறியலாம்.
இங்கே அறிய விரும்புபவர்கள் அறியலாம்.


ஆகவே முதலில் அடுக்குத் தொடர்வரிசை நிரூபண்ம்  எங்களுக்கு புரியும் வரை டெய்லர் நிரூபண்மும் செல்லாது செல்லாது!,என எதிர் பதிவு இட விரும்பும் நண்பர்கள் இட வலியுறுத்துகிறோம்.

கணிதத்தில் மட்டுமே மிக சரியான நிரூபணம் தர முடியும் என்றாலும் அது சாமான்யனுக்கும் புரியும் வரையில் எளிமைப்படுத்துவது என்பதற்கு கடும் ,தொடர் உழைப்பு தேவைப்படும்.அதில் நாம் ஒரு துரும்பை எடுத்து விளக்க  முயற்சிக்கிறோம் அவ்வளவுதான்!.

எல்லாவற்றுக்கும் அடிப்படை ஒன்றே,அந்த அடிப்படையில் இருந்தே அனைத்து அறிவியலும் கிளைத்து தழைத்தன என்பதை அறியாமல், எதையும்  பிற விளக்கங்கள் சாராமல் அறிய இயலாது என்பதை அறியாமல்  எழும் கேள்விகளை புறக்கணிப்போம்.கற்றல் என்னும் தொடர் தேடலை தொடர்வோம்.


இப்பதிவின் சாரம்

1.ஒரு (நிலையான) கடின்மான (சிக்க்லான) மாறித் தொடர்புக்கு சமமான  எளிமையான் மாறி அடுக்கு தொடர்வரிசை உண்டு. 

2.அடுக்குத் தொடர்வரிசை என்பதை இரு வகைகள்தான் டெய்லர்,மெக்லாரின் தொடர் வரிசைகள்.அடுக்குத் தொடர்வரிசையில் சில கணித செயல்க‌ள் + பிரதியிடுதல் மூலம் டெய்லர்,மெக்லாரின் தொடர் வருவிக்க முடியும்.

3.இவை மாறித் தொடர்பு எளிமைப்படுத்தல்[function approximation],எதிர்(கடந்த)கால நிகழ்வு கணித்தல்[prediction or extrapolation] போன்ற விடய‌ங்களுக்கு பயன்படுகின்றன. 



12 comments:

  1. நண்பரே,

    //டெய்லர் தொடர் என்பது ஒரு (முதல்) புள்ளியின் சூழல் குறித்த அளவைகள் கொண்டு அறிந்து அருகே உள்ள இன்னொரு (இரண்டாம்) புள்ளியின் சூழலை அள்ப்பது என கொள்ளலாம்.//

    இந்த எளிமையான விளக்கத்தை வைத்து ஒரளவு புரிந்து கொள்ள முடிந்தது. equations எழுதும்போது அவைகளை மேலும் எளிதாக விளக்கினால் நலம்.

    இந்த டெய்லர் தொடர் வரிசையை வைத்து பரிணாமத்தை கணிதத்தின் மூலம் நிரூபிக்க முடியுமா?

    சரி இப்படியே போனால் JEE யை crack (உடைத்து) செய்து IIT-A(Aminjikarai)யில் சேரலாம்.

    ReplyDelete
  2. வாங்க நண்பர் நரேன்,

    பாருங்கள் ஒருகடினமான மாறித் தொடர்பை[சிக்க்லான அமைப்பை] பல எளிய அடுக்குத் தொடராக [ எளிய அமைப்புகளாக] பிரிப்பதை டெய்லர் தொடர்வரிசை எடுத்து விள்க்கவில்லையா!

    பரிணாம்ம கணிதரீதியாக நிரூபிக்க கூடியதே.

    ப்ளாக்கர் சமன்பாடுகளுக்கு அவ்வளவு ஒத்துழைப்பது இல்லை.இணைப்பாக பிடி எஃப் கொடுக்க்லாம் என தோன்றுகிறது.

    ஐ ஐ டி என்றால் என்றால் பெரிய பருப்பா?.அனைவராலும் அனைத்தையும் புரிந்து கொள்ள இயலும்.என்ன கொஞ்சம் ஈடுபாடு,கொஞ்சம் உழைப்பு தேவை அவ்வள்வுதான்.

    அமிஞ்சிக்கரை மட்டுமல்ல அம்மாபட்டி, வரை எளிய தமிழில் அறிவியல் கொண்டு செல்வோம்!

    நன்றி

    ReplyDelete
  3. நரென்!!
    டெய்லர் தொடர் வரிசையினால் பிரிக்க இய்லாத மாறித் தொடர்பு இருந்தால் அது எளிமைப் படுத்த இயலாத சிக்க்லான வடிவமைப்புக்கு[irreducible complexity] எ.கா அகும்.

    அப்படி ஒரு எடுத்துக் காட்டு பரிணாம் எதிர்பாளர்கள் கொடுக்க இயலுமா??????

    நன்றி

    ReplyDelete
  4. //ஐ ஐ டி என்றால் என்றால் பெரிய பருப்பா?//

    அது சின்ன பருப்பு கூட கிடையாது. இந்திய தேசத்தின் வியர்வையனால் உருவாக்கப்பட்டு பெரும் பொருட்செலவில் நடத்தி வருப்படும் அவைகள், தேசத்திற்கு திருப்பி தந்தது ஒன்றுமேயில்லை. அது அமெரிக்கா மற்றும் மேலை நாடுகளுக்கு providing high talent with cheap cost என்றளவில் உள்ளது. மேற்கத்திய நாடுகளுக்கு நம்மாலான உதவி.

    அவைகளால் நாட்டுக்கு ஒரு நன்மையை சுட்டிகாட்ட முடியாது. தீமைகள் நிறைய, அங்கேயும் படித்து அப்புறம் ஐ.ஏ.ஸ், ஐ.பி.ஸ் ஆகி இலஞ்சம் வளர்த்ததுதான் மிச்சம்.

    நான் ஆட்சிக்கு வந்தால்??????? இவைகளின் கதவுகள் இழுத்து சாத்தி மூடப்படும். Darth vader உதவி புரிவானாக.

    ReplyDelete
  5. அருமையாக சொன்னீர்கள் நரேன்,
    பல முறை ஐ ஐடி,ஐ ஐ எம் க்கு சென்று இருக்கிறேன்.அங்கு இருப்பவர்களோ,அல்லது பாடத்திட்டமோ கூட ஒரு சிறந்த‌ தனியார் பொறியியல் கல்லூரிக்கும் பெரிய வித்தியாசம் கிடையாது.ஆனால் என்ன ப்ராண்ட் நேம் கொண்டுவந்து விட்டார்கள்.அது உலக்ம் முழுவது விற்பனைக்கு எடுபடுகிறது.


    ஐ ஐ. டிக்கு போகிறேன் தகுதித் தேர்வுக்கு பல் வருட வாழ்வை வீணடித்த பல்ரையும் அறிவேன்.வாழ்க்கை என்பது மிக எளிதானது.இயற்கையை பாழ்படுத்தாமல்,ஏதோ ஒரு நம்க்கு இயல்பாக வரும் ஒரு திற்மையை வளர்த்து அதில் பிறரோடு இணைந்து,பகிர்ந்து வாழ்வதுதான் வாழ்க்கை என்பதை கல்விமுறைகள் சொல்லிக் கொடுக்காவிட்டால் உலகம் இப்படி அழிவுப்பதையில்தான் செல்லும்.

    கல்விக்கூடங்களில் மதிப்பெண் பெறுவதும்,போட்டி போடவுமே சொல்லிக் கொடுப்பதனால்தான் இவ்வளவு பிரச்சினைகள் என்பது நம் கருத்து. நன்றி.

    ReplyDelete
  6. //கல்விக்கூடங்களில் மதிப்பெண் பெறுவதும்,போட்டி போடவுமே சொல்லிக் கொடுப்பதனால்தான் இவ்வளவு பிரச்சினைகள் என்பது நம் கருத்து//
    கல்வி என்பதன் உன்மை பொருள் இன்று முற்றிலும் மாறி பெரும்பாலான கல்வி நிலையங்கள் மனப்பாடம் செய்யும் திறனைதான் மாணவர்களுக்கு கற்றுத்தருகின்ற்ன என்பது என் கருத்து. படிப்பின் மேல் ஆர்வம் இருந்தும் சரியான புரிதல் இல்லாமல் படிப்பை கைவிட்ட நன்பர்களும் என்க்குண்டு. எதிர்காலத்தில் இந்நிலை மாற இது போன்ற நல்ல கட்டூரைகள் தமிழில் அதிகம் வர வேண்டும்.

    ReplyDelete
  7. வாங்க சகோ அருள்

    கல்விக்கூடங்கள் என்பது மாணவர்களை நாகரிகமாக சிந்திக்க,விவாதிக்க தயார்படுத்துவதாக் இருக்க வேண்டும்.பெரும்பாலான கல்விக்கூடங்களில் மாணவர்களின் பாடத்திட்டமே மிக அதிகமாக ஆழமற்று இருப்பதும்,மதிப்பெண் பெறுதல்தான் அறிவின் அடையாளமாக ம்திக்கப்படும்தன் சமூக சீரழிவிற்கு காரணம்.

    முரட்டு ஆசிரியர்களால் படிப்பை நிறுத்திய மாணவர்கள் பலருண்டு.
    நம்மால் முடிந்தவரை அறிவியல்&கணிதத்தை எளிமையான் தமிழில் சிந்தித்து அறியும் வண்ணம் தமிழ் சமூகத்திற்கு அளிக்க விழைகிறோம்.

    அடிக்கடி வாங்க‌

    நன்றி

    ReplyDelete
  8. இந்த பதில் தருமி அவர்களுக்கு அனுப்பியது தங்களுக்கும் அதே பதில் பொருந்தும் என்று நினைக்கின்றேன்.சார் முஸ்லிம்கள குறை கண்டு பிடிகுறது இருக்கட்டும்.உங்க முழு கட்டுரைக்கும்(இஸ்லாமும் பெண்களும் ...2 / WHY I AM NOT A MUSLIM ... 18),நீங்க கேட்ட அத்தனை கேள்விக்கும் ஒன்னு விடாம பதில் சொல்லியும்(http://tvpmuslim.blogspot.in/2011/11/blog-post_24.html) உங்க கிட்ட இருந்து கடந்த 5 மாதத்தில் மழுப்பலா கூட ஒரு பதிலும் இல்ல இது இமயமலையையே சோத்துக்குள்ள மறைப்பதற்கு சமம்.நீங்க கேட்ட கேள்வி சரி என்றால் நான் சொன்ன பதிலுக்கு நீங்க ஏன் மறு கேள்வி கேட்கவில்லை.உங்கள் ப்ளோகில் உள்ளது போல "கேள்விகள் கேட்பதன்றி வேறொன்றும் அறியேன், வலைஞர்களே".உங்களை போல கேள்வி மட்டுமே கேட்க தெரிந்தவர்கள் எந்த பதிலை சொன்னாலும் ஏற்று கொள்ளாத முரட்டு முட்டாள்கள்,என்பதை தாங்களும் நிருபித்து விட்டீர்கள்.முடிந்தால் என்னுடைய கட்டுரைக்கு பதில் சொல்லுங்கள் இல்லையேல் இஸ்லாத்தை குறை சொல்வதை விட்டும் விலகி கொள்ளுங்கள்.வால்பையனுக்கும்,சார்வாகனுக்கும் கேள்வி மட்டும் தான் கேட்க தெரியும் போல.சொர்கத்து கருவிழி மங்கையர்கள் பற்றி நீங்கள் இது நாள் வரை கேட்ட வெத்து கேள்விக்கு அந்த மறுப்பில் பதில் உள்ளது.பெண்களை கேவல படுத்தி அடிமை படுத்துவது நீங்களா அல்ல இஸ்லாமா என்று கட்டுரையை முழுமையாக படித்து பதில் தரவும்.

    ReplyDelete
  9. வாங்க திருவாளர் திருவாளப்புத்தூர் முஸ்லிம் அவர்களே
    நம் தளத்தில் கேட்ட்கப்படும் கேள்விகளுக்கு இங்கேயே உடனே பதில் அளித்து விடுவது வழ்க்கம்.நீங்கள் சொல்வது உண்மையாயின் ஒன்று செய்யுங்கள்.என் கேள்வி+உங்கள் பதில் இரண்டையும் இங்கே வெட்டி ஒட்டுங்கள் பார்த்துவிட்டு விமர்சிக்கிறேன்.

    நன்றி

    ReplyDelete
  10. சகோ.சார்வாகன்,

    கணக்கு ,பிணக்கு,ஆமணக்கு நமக்கு , சரி வந்ததுக்கு ஒரு சந்தேகம் கேட்டுப்போறேன் ....

    ஹி..ஹி...டெய்லர் சமன் பாட்டை கண்டுப்பிடித்தது எலிசபெத் டெய்லரா ?

    ReplyDelete
  11. வாங்க சகோ வவ்வால்

    கணக்கு மணக்கு பிணக்கு ஆமணக்கு இது நம் மகாகவி பாரதி சொன்னது அல்லவா!
    இவர் ப்ரூக் டெய்லர் 17 ஆம் நூற்றாண்டு கணித மேதை.இவர் பெர்னூலி எல்லாம் சம் கால்த்து ஆள்கள்.டெய்லர் தொடரை பெர்னூலி சரியில்லை என்று முதலில் சொல்லி விட்டாராம்.

    இந்த வெள்ளக்காரன்களின் சர் நேம் வைத்து குடும்பம் முனோர்கள் கண்டுபிடிப்பது நம் சாதி முறை போன்றது.ஒருவேளை எலிசபெய்த் டெய்லரும் ப்ரூக் டெய்லரும் உறவினர்களாக் இருக்கும் வாய்ப்பு உண்டு.

    Brook Taylor FRS (18 August 1685 – 29 December 1731) was an English mathematician who is best known for Taylor's theorem and the Taylor series.

    http://en.wikipedia.org/wiki/Brook_Taylor

    நன்றி

    ReplyDelete
  12. "திருவாளப்புத்தூர் முஸ்லீம் " ஆப்ப கையோட கொண்டுவந்து , அவருக்கு அதை அடித்து விடவேண்டு என்று கேட்டுக்கொண்டுள்ளார்.

    ReplyDelete