சமரசம் உலாவும் இடமே!!!!: இரமானுஜத்தின் கணித முறைகள்

Showing posts with label இரமானுஜத்தின் கணித முறைகள். Show all posts

Saturday, September 1, 2012

தொடர் பின்ன கூட்டல் அறிவோமா:பகுதி2

வணக்கம் நண்பர்களே,

சென்ற பதிவில் ஒரு தொடர் பின்ன(Continued Fraction) தொடர் வரிசை பற்றிய எளிய அறிமுகம் கற்றோம். அறிவியலில் பல விடயங்கள் போல் இதுவும் பல பயன்பாடுகள்,நுணுக்கங்கள் கொண்ட கணிதமுறையே. பதிவுகளில் நாம் படிப்பதில் தமிழாக்கம் செய்து வெளியிடுகிறோம்.இது சில இளைய தலைமுறைக்கு அறிவியலில் ஈடுபாடு ஏற்படுத்தினால் நல்லதே என்ற நோக்கம் மட்டுமே.

அறிவியல் என்பது கடினமானது அல்ல,முறையான ,தொடர் கற்றலே சரியான புரிதல் ஏற்படுத்தும்.குறிப்பிட்ட கல்லூரியில் ,பள்ளியில் படித்தால் மட்டுமே அறிவியல் சரியாக அறிய முடியும் என்பது தவறான கருத்து. கற்றல் என்பது இப்போது எவரும் எதனையும் கற்பது மிக எளிதாகியே வருகிறது.

அனைத்து அறிவியல் கட்டுரைகளுமே தமிழில் வர வேண்டும் என்பதே நம் நோக்கம். தமிழ் பதிவுலகம் பல துறைகளில் சாதனை புரிந்து பீடு நடை போடுவது போல் அறிவியல் பதிவு சார் கல்வியிலும் மென்மேலும் சாதனை புரியும் என எதிர்பார்க்கிறோம்..

சரி பதிவுக்கு செல்லலாம்.

சென்ற பதிவில் இருந்து இக்கேள்விகளைப் பெற்றோம்.இதற்கு இப்பதிவில் விடை அறிவோம்!!!

1.அப்போது ஒவ்வொரு தொடர்பின்னத்துக்கும் இப்படி புதிர் போட முடியுமா?

2.அந்த முழு எண் புதிரில் இருந்து தொடர்பின்ன விடை எப்படி கொண்டுவருவது?

அல்லது

தொடர் பின்னத்தில் இருந்து முழு எண் புதிர் எப்படி கொண்டு வருவது?

ஒரு எண்ணின் வர்க்க மூலத்தை தொடர் பின்ன கூட்டலாக எழுதலாம் என்பதை சென்ற பதிவில் கற்றோம் அதாவது

(1)

இப்போது இரமானுஜம் தீர்வு கண்ட புதிரின் பொதுவான அமைப்பு பார்ப்போம்!!

(2)

இதனை கொஞ்சம் மாற்றி எழுதினால்

அதாவது

(3)

சமன்பாடு(3) க்கு பல தீர்வுகள் உண்டு அதில் ஒன்று

y=1!!!!

சமன்பாடு [General Solution is]

(4)

என கணிக்கலாம். 'b' ஒரு முழு எண்[b is an integer]

இரமானுஜம் தீர்வு கண்ட புதிரில் K ன் ம‌திப்பு 10. ஆகவே sqrt(10) ன் தொடர் பின்ன தீர்வு அமைப்பின் ஒவ்வொரு ஒருங்கும்(stage) தீர்வு ஆனது.

இபோது இரு சமன்பாடுகளை பார்த்தவுடன் முதல் ஒருங்கு x=b/2, y=1

பிரதியிட்டால் சரியாக தீர்வு வருகிறது

இரண்டாம் ஒருங்கு

பிரதியிட்டால்

சரியாக தீர்வு வருகிறது.
...

இது போல் அனைத்து ஒருங்கிற்கும் வரும் என கணித ரீதியாக நிரூபணம் கொடுக்க முடியும் என்றாலும் கடினம் கருதி தவிர்க்கிறேன்.

நாம் நினைவில் கொள்ள வேண்டியவை இதுதான்.

ஒவ்வொரு 'b' மதிப்புக்கும் ஒரு புதிர் சமன்பாடு கிடைக்கும். அதன் K மதிப்பு மட்டும் கண்க்கிட்டால் போதும்.பிறகு Kன் வர்க மூலத்திற்கு தொடர்பின்னம் எழுத வேண்டியதுதான். ஒவ்வொரு ஒருங்கும் தீர்வு தரும்.!!!

Just write continued fraction expansion for square root of ''K' corresponding to 'b' value.Every stage is a solution!!!!

S.No	b	K
1	1	5/4
2	2	8/4
3	3	13/4
4	4	20/4
5	5	29/4
6	6	40/4
7	7	53/4
8	8	68/4
9	9	85/4
10	10	104/4

இப்போது புதிர் சமன்பாடு எப்படி அமைப்பது என அறிந்து கொண்டோம்.

இபோது ஃபைபோனோசி தொடருக்கும் தொடர் பின்னத்திற்கும் தொடர்பு உண்டு என்பதை அடுத்த பதிவில் அறிவோம்!!!!

பைபோனோசி தொடர் எனில் 1,1,2,3,5,8,,....

எந்த இரு அடுத்தடுத்த எண்களை கூட்டினால் மூன்றாம் எண் கிடைக்கும்.

http://library.thinkquest.org/27890/mainIndex.html

a1+ a2= a3

or
a(n-1)+a(n)=a(n+1)

இது எலிகளின் இனப்பெருக்க விகிதத்தில் இருந்து அறியப்பட்ட விடயம்.

அடுத்த பதிவில் சந்திப்போம்!!!!!!!!!!

நன்றி!!!!!!!!

I thank this website for their online equation editor.

http://rogercortesi.com/eqn/index.php

Friday, August 24, 2012

தொடர் பின்னக் கூட்டல் அறிவோமா?:Part 1

வணக்கம் நண்பர்களே,

கணிதம் பற்றி பதிவு எழுதி நாளாகி விட்டதால் நமக்கு திடீரெனெ எழுதியே ஆக வேண்டும் என தோன்றியது. சரி எல்லோருக்கும் புரியும் வண்ணம் இருக்க வேண்டும் என தேடல் தொடங்கியது.

நம்க்கு தொடர் கூட்டல் பற்றி தெரியும்.அதாவது தொடர்வரிசை,ஒரு குறிப்பிட்ட தொடர்பில் முன் செல்லும் எண்களின் கூட்டல் பற்றி ஏற்கெனவே ஒரு பதிவில் பார்த்து இருக்கிறோம்.

எ.கா

1+2+3.......

1+2+4+8+16+......

இப்பதிவில் ஒரு தொடர்வரிசை பார்க்கப் போகிறோம் ஆனால் அத்தொடர் பின்னம் சார்ந்து இருக்கும் என்பதும் அது சில சமன்பாடுகளுக்கு தொடர்ந்து விடை அளிக்கும் என்பதுதான் விந்தை!!!!!!

ஒருமுறை கணித மேதை இரமானுஜத்திடம் முனைவர் பி.சி. மஹலனொபிஸ் இந்த சமன் பாட்டுக்கு முழு எண் தீர்வு கண்டுபிடியுங்கள் என்க கேட்க உடனே அவர் இதற்கு ஒரு தொடர் பின்னமே தொடர்ந்து விடைகள் தரும் என கூறினாராம்!

முனைவர் பி.சி. மஹலனொபிஸ் என்பவர் நேரு காலத்தில் இந்தியாவின் ஐந்தாண்டுத் திட்டங்களைத் தீட்டியவர். அவர் இராமானுஜன் கேம்பிரிட்ஜில் வசித்த காலத்தில் அவரும் அங்கு படித்துக் கொண்டிருந்தார். இராமானுஜனுடைய நண்பர்.

இதுதான் அந்த புதிர் x,y க்கு முழு எண்களில் தீர்வு காண வேண்டும்.

$x^2 - 10 y^2 = +1 or -1$

x,y=integers

ஆனால் இராமானுஜன் பிரச்சினையைக் கேட்டவுடனேயே, இதன் விடை ஒரு தொடர் பின்னத்தில் இருக்கிறது என்று கீழ்வரும் தொடர் பின்னத்தை சொன்னார்:

$3 + \cfrac{1}{6+\cfrac{1}{6+\cfrac{1}{6+\cfrac{1}{6+\dotsb}}}}$

இத்தொடர்பின்னத்தின் ஒவ்வொரு ஒருங்கும்(stage) ஒவ்வொரு விடையாகும். முதலாவது ஒருங்கு 3/1. x = 3, y = 1 என்பது முதல் விடை.மஹலனொபிஸின் ஒரே விடைக்கு பதிலாக முடிவுறா எண்ணிக்கையில் தொடர்ந்து பல சரியான விடைகள் கொடுக்கின்றன. ஆக, மேற்படி தொடர்பின்னத்தின் 2வது ஒருங்கு

3 + 1/6 = 19/6.

x =19, y = 6 இரண்டாவது விடை.

$19^2 - 10 * 6^2 = 361 - 360 = 1$

மூன்றாவது ஒருங்கு:

$3 + \cfrac{1}{6+\cfrac{1}{6}}$

இது கொடுக்கும் விடை: x = 117, y = 37[x=numerator,y=denominator]

இதுவும் ஒரு சரியான விடைக‌ள்தான்.

S.No	y	x	X^2-10*y^2	R=x/y	R^2
1	1	3	-1	3	9
2	6	19	1	3.166667	10.02778
3	37	117	-1	3.162162	9.99927
4	228	721	1	3.162281	10.00002
5	1405	4443	-1	3.162278	9.999999
6	8658	27379	1	3.162278	10
7	53353	168717	-1	3.162278	10
8	328776	1039681	1	3.162278	10
9	2026009	6406803	-1	3.162278	10
10	12484830	39480499	1	3.162278	10

இப்போது தொடர்பின்னம்(continued fraction) என்றால் என்ன என்று புரிந்து இருக்கும் என நம்புகிறேன். பின்னத்துக்குள் ,பின்னத்துக்குள்,பின்னத்துக்குள்...பின்னம் என போய்க் கொண்டே இருப்பதுதான் தொடர் பின்னம்.

சரி இது எதுக்கு சகோ விளையாட்டு மாதிரி இருக்கு என்றால் அறிவியலில்(கணிதத்தில்) மூன்று விடயங்களை செய்கிறோம்.

1.அறிந்த விடயம்(known) கொண்டு அறியா விடயம்(unknown) தொடர்புகளில் கணிக்கிறோம்.

2.தொடர்புகளில் உள்ள ஒழுங்குத் தனமை(order) அறிய முயல்கிறோம்.

3.மிகச் சரியாக அறிய முடியாவிட்டால் தோராய(approximation) விடையாவது காண விழைகிறோம்.

இன்னும் கொஞ்சம் விளக்கம் கற்போம்!

Introducing continued fractions

ஒரு இரு படி சமன்பாடு எடுத்துக் கொள்வொம்![Consider the quadratic equation]

$\begin{equation} \htmlimage {} x^2-bx-1=0 \label{A} \end{equation}$

(1)

அதாவது x(x-b)=1

x-b=1/x

[Dividing by 'x' we can rewrite it as]

$\begin{equation} x=b+\frac1x \end{equation}$

(2)

இபோது சமன்பாடு இரண்டில்'x'கான மதிப்பை அதிலேயே பிரதியிட‌

x=b+1/(b+1/x))

[Now substitute the expression for 'x' given by the right-hand side of this equation for 'x' in the denominator on the right-hand side]:

$\begin{equation} x=b+\leftb \frac1{b+\frac1x} \rightb \end{equation}$

(3)

ஒரு தொடர்பின்ன சமன்பாடு கிடைக்கும்!!.இது ஒரு முடிவிலி[infinite] தொடர் ஆகும்.ஆனால் இதன் கூடுதல் நிலை மதிப்பு[finite] ஆகலாம்.ஒரு விகிதமுறா [irrational] எண்ணை தொடர்பின்ன முடிவிலி தொடராக எழுத முடியும்!

[We can continue this incestuous procedure indefinitely, to produce a never-ending staircase of fractions that is a type-setter’s nightmare:]

$\begin{equation} x=b+\leftb \frac1{b +\frac1{b+\frac1{b+\frac1{b+\ldots }}}} \rightb \label{B} \end{equation}$

(4)

இந்த படிக்கட்டு போன்ற பின்ன அமைப்பு தொடர்பின்னத்தின் எ.கா ஆகும்.

இபோது நாம் எடுத்த முதல் இருஅடி சமன்பாட்டை சூத்திரம் கொண்டு தீர்த்து 'x'ஆக பிரதியிட வேண்டும்.[இதில்தீர்வின் + மதிப்பு மட்டுமே கண்க்கிடப்படுகிறது(ஏன்? எதற்காக? சிந்திக்க மாட்டீர்களா!)]

[This staircase is an example of a continued fraction. If we return to equation 1 then we can simply solve the quadratic equation to find the positive solution for 'x' that is given by the continued fraction expansion of equation 4; it is]

$\begin{equation} x=\frac{b+\sqrt {b^2+4}}2 \label{Ba} \end{equation}$

(5)

[Picking ,b=1 we have generated the continued fraction expansion of the golden mean, $\tau$ :]

b=1 எனில் கிடைக்கும் தொடர்பின்னம்!!!

! $\begin{equation} \tau =\frac{\sqrt {5}+1}2=1+\frac1{1+\frac1{1+\frac1{1+\frac1{1+\ldots }}}} \label{B1} \end{equation}$ (6)

You can try for b=2,3,4,5,....

சரி இப்போது ஒரு தொடர் பின்னத்தின் மொத்த மதிப்பும் காண முடியும். ஒரு விகிதமுறு(rational),விகித்முறா(irrational) எண்ணை தொடர்பின்னமாகவும் எழுத முடியும்.

10ன் வர்க்க மூலத்தை[square root] தொடர் பின்னமாக எழுதுவோம்!!!

அதற்கான சமன்பாடு இதுதான் எப்படி வந்தது?!!!!!!!!!!!!

x^2-6x-1=0

x=[6+sqrt(36+4)]/2=3+sqrt(10)[புரிந்ததா!!!!! b^2+b=4*10 so b=6]

தொடர் பின்னம் எழுத 'b' மதிப்பு மட்டுமே போதும்.இப்போது தொடர் பின்னப்படி எழுதினால்

sqrt(10)=

$3 + \cfrac{1}{6+\cfrac{1}{6+\cfrac{1}{6+\cfrac{1}{6+\dotsb}}}}$

[b=6, so b-b/2=3]

ஆமாம் இது இரமானுஜம் சொன்ன விடை ஆயிற்றே!!!!!!!

இதுக்கும் அதுக்கும் என்ன தொடர்பு?????????????

அப்போது ஒவ்வொரு தொடர்பின்னத்துக்கும் இப்படி புதிர் போட முடியுமா?

அந்த முழு எண் புதிரில் இருந்து தொடர்பின்ன விடை எப்படி கொண்டுவருவது?

அல்லது

தொடர் பின்னத்தில் இருந்து முழு எண் புதிர் எப்படி கொண்டு வருவது?

அடுத்த பதிவில் விளக்குவோம்!!!!!!

சந்தேகங்களை வழக்கம் போல் பின்னூட்டம்

நன்றி

(தொடரும்)

http://plus.maths.org/content/chaos-numberland-secret-life-continued-fractions

http://mathworld.wolfram.com/ContinuedFraction.html

Friday, September 2, 2011

இரமானுஜத்தின் கணித முறைகள் :மாயசதுரம் 1.2

369 கூட்டுத் தொகை வரும் 9 X9 மாய சதுரம்

இப்பதிவில் 3X 3& 4 X4 மட்டும் பார்த்து விட்டு வேறு கணிதம் கற்க செல்வோம்.

இதுதான் போன பதிவிலேயே பார்த்தாயிற்று என்றாலும் இரானுஜத்தின் மேதமையை கொஞ்சாமவது புரிந்து கொள்ள வேண்டுமெனில் அவ்ரின் பங்களிப்பாக‌ மாய சதுரம் என்பதை எந்த அள்வில்(dimension) வேன்டுமானாலும் பல் தீர்வு(இருப்பின்) கண்டுபிடிக்கும் முறையை அளித்துள்ளார் என்பதை அறிய வேண்டும்.

இப்போது 3 X3 மாய சதுரம் இரானுஜத்தின் பொதுவான முறை

1.இரமானுஜம் ஒரு 3X 3 (nXn)மாய சதுரத்தை 6 (2*n)எண்களால் வரையறுக்க முடியும் என்கிறார்.(For nXn 2*n numbers are required)

2.இந்த எண்களை 3(n) அளவுள்ள இரு குழுவாக் பிரிக்கிறார்.

ஒற்றை ப்டை (3,5,7...) அளவுள்ள சதுரத்திற்கு இந்த எண்கள் போன பதிவில் கூறிய படி கூட்டுத் தொடராக் இருக்க வேண்டும்.இரட்டை ப்டை (4,6,8...) அளவுள்ள சதுரத்திற்கு இது அவசியமில்லை.

முதல் குழு

{A,B,C}

இரண்டாம் குழு

{P,Q,R}

இந்த ஒரு குழு எண்களை அடுத்த குழு ஒவ்வொரு எண்களோடு கூட்டும் போது வரும் தொகை எந்த எண்ணும் திருப்பி வராத மாதிரி தேர்ந்தெடுக்க வேண்டும்.

எ.கா

முதல் குழு

{A,B,C}={0,1,2}

இரண்டாம் குழு

{P,Q,R}={0,3,6}

பாருங்கள்

0+{0,3,6}={0,3,6}

1+{0,3,6}={1,4,7}

2+{0,3,6}={2,5,8}

இந்த 9 எண்களும் வெவ்வேறு.இந்த 9 எண்களும் எங்கு வர வேண்டும் என்பதை இரமானுஜம் தெளிவாக் வரையறுத்து விட்டார்.

A+B+C+P+Q+R=கூட்டுத் தொகை

எழுத்து சதுரம் 3X3

C+Q	A+P	B+R
A+R	B+Q	C+P
B+P	C+R	A+Q

அந்த் இடங்களில் இட்டு நிரப்ப வேண்டியதுதான்.நம் எடுத்துக் கொண்ட மதிப்பு எந்த பக்கம் கூட்டினாலும் 12 வரும்படி மாய சதுரம் அமைக்க முடியும்.

5	0	7
6	4	2
1	8	3

கூட்டுத் தொகைக்கு ஏற்ப குழுக்களுக்கு மதிப்பு அளித்தால் எந்த மூன்றால் வகு படும் எண்ணுக்கும் மாய சதுரம் அமைக்க முடியும்.ஒற்றை படை அளவு(5,7,9.. ) இந்த குழு எண்கள் கூட்டுத் தொடராக் இருப்பது இன்றியமையாதது.

5,7,9..இப்படியே அனைத்துக்கும் இரமானுஜம் வடிவமைத்துள்ளார்.இதனை கொஞ்சம் கூர்ந்து கவனித்தால் உங்களுக்கும் அமைக்கும் முறை பிடிபடும்.மாய சதுரம் தவிர்த்து பிற‌ கணித பகுதிகளுக்கும் செல்ல வேண்டும் என்பதால் இது குறித்து இன்னும் தகவல் வேன்டுமென்பவர்கள் தெரிவித்தால் ஆவண‌ செய்யலாம்.

இதெ போல் 4 x 4 இதர இரட்டை எண் அளவுள்ள சதுரத்திற்கு இராமனுஜம் வரையறுத்த சதுரம் இதோ.இது எப்படி வந்தது என்றால் ,கொஞ்சம் கடினமாக் இருக்கும் என்பதால் கொடுக்கவில்லை.இங்கு குழு எண்கள் கூட்டுத் தொடராக் இருக்க அவசியமில்லை.

எழுத்து சதுரம் 4X4

A+S	C+P	D+R	B+Q
D+Q	B+R	A+P	C+S
B+P	D+S	C+Q	A+R
C+R	A+Q	B+S	D+P

எ.கா

முதல் குழு

{A,B,C,D}={0,1,2,3}

இரண்டாம் குழு

{P,Q,R,S}={0,4,8,12}

12	2	11	5
7	9	0	14
1	15	6	8
10	4	13	3

இப்போது கூட்டுத் தொகை 30 உள்ள மாய சதுரம் தயார்.இந்த இரட்டைப் படை அளவு கொள்சதுரத்தில் எந்த கூட்டுத்தொகை எண்ணுக்கும் மாய சதுரம் அமைக்க முடியும்(குறைந்த பட்சம் 30).கூட்டு தொகை 31 வேண்டுமெனில் இரண்டாம் குழுவில் கடைசி எண் மட்டும் 13 ஆக மாற்றினால் தயார்.

முதல் குழு

{A,B,C,D}={0,1,2,3}

இரண்டாம் குழு

{P,Q,R,S}={0,4,8,13}

13	2	11	5
7	9	0	15
1	16	6	8
10	4	14	3

வித்தியாசம் புரியும் என நினைக்கிறேன்.இப்போது 32 வேண்டுமெனில் சிவப்பு நிறத்தில் உள்ள எண்கலை மட்டும் ஒன்று அதிகரித்தால் போதும்.இந்த குழு எண்கள் (நிபந்தனைகளுக்கு உட்பட்டு)தேர்ந்தெடுப்பது உங்கள் கையில் என்பதால் எண்ணற்ற சதுர‌ங்கள் அமைக்க முடியும்.

இதே போல் 5,6,7,.. என்று போய்க் கொண்டே இருக்க்லாம் என்றாலும் .இப்படி ஒவொரு அளவிற்கும் ஒரு எழுத்து சதுரம் அமைத்தால் போதும் என்பது உங்களுக்கு புரிந்து இருக்கும்.இந்த எழுத்து சதுரம் கூட அமைப்பது கொஞ்சம் உழைத்தால் கற்றுக் கொள்ள முடியும் அதற்கு பல் நிரூபண்ங்கள் தேவை என்பதால் குறிப்பிடவில்லை.

இதில் நம் இரமானுஜம் பல வித்தைகள் காட்டியுள்ளார்.இதை பற்றியே 100 பதிவு இடும் அளவு விஷயம் வடிவமைத்த மாமேதையின் அறிவையும் உழைப்பையும் எண்ணிப் பார்க்க்வே ஆச்சர்யமாக் உள்ள‌து.

மாய சதுரங்கள் முடிந்தது அடுத்த அத்தியாயத்தில் இன்னும் வேறு வகை இரமானுஜத்தின் கணிதத்துடன் சந்திப்போம் நன்றி!!!!!!!!!!!.

முந்தைய பகுதி

இரமானுஜத்தின் கணித முறைகள் : மாயச் சதுரங்கள் 1.1.

சமரசம் உலாவும் இடமே!!!!

Saturday, September 1, 2012

தொடர் பின்ன கூட்டல் அறிவோமா:பகுதி2

Friday, August 24, 2012

தொடர் பின்னக் கூட்டல் அறிவோமா?:Part 1

Introducing continued fractions

Friday, September 2, 2011

இரமானுஜத்தின் கணித முறைகள் :மாயசதுரம் 1.2

Earth Clock

visitors