இரமானுஜத்தின் கணித முறைகள் : மாயச் சதுரங்கள் 1.1.

கணிதமேதை இரமானுஜம் பற்றி அனைவரும் அறிவோம்.இப்புதிய தொடரின் அவருடைய சில எளிய கணித முறைகளை தமிழ் பதிவுலகில் அறிமுகம் செய்யலாமென்ற சிறு முயற்சி.இத்தொடர் கூடுமான்வரை எளிமைபடுத்தி ப்யன் பாட்டின் அடிப்படையிலேயே கற்றுக் கொள்ள போகிறோம்.

அவருடைய வாழ்க்கை வரலாறு பற்றி தெரிந்து கொள்ள இங்கே செல்லவும்.

முதலில் இப்பதிவில் மாய சதுரம் அமைக்கும் இரமானுஜத்தின் முறையை கற்போம்.மாய சதுரம் எனில் சதுரம் போன்ற கட்ட அமைப்பில் அதில் முழு எண்களை இட்டு வரிசை(Row) ரீதியகவோ,நிரல்(column) ரீதியாக்வோ அல்லது மூலை விட்டங்களின்(diagonal) வழியாக் கூட்டினாலோ ஒரே எண் வர வேண்டும்.ஒரு எண் ஒருமுறை மட்டுமே வர வேண்டும்.ஒரு எடுத்துக்காட்டு 3 X3  மாயசதுரம் கூட்டுத் தொகை 15 வரும் வண்ணம் பாருங்கள்.

2	7	6
9	5	1
4	3	8

இம்மாய சதுரங்கள் அமைக்க சில எளிய முறைகளை நிரூபணத்தோடு வரையறுக்கிறார்.நிரூபணம் பிறகு பார்ப்போம்.இப்போது எப்படி மாய சதுரம் அமைப்பது என்பதை கற்றுக் கொள்வோம்.

திரு இரமானுஜம் சில எளிய கொள்கைகளை வரையறை செய்கிறார்.

1.கூட்டுத் தொகை மூன்றின் மடங்காக் இருக்க வேண்டும்.முழு எண்களில் குறைந்த பட்ச கூட்டுத் தொகை 12. கட்டத்தில் உள்ள‌ சிறிய எண்கள் வரிசை,நிரல் எண்களை குறிக்கின்றன.

Magic Square:A

1(1,1)	6(1,2)	5(1,3)
8(2,1)	4(2,2)	0(2,3)
3(3,1)	2(3,2)	7(3,3)

2.நடுக் கட்டத்தில் கூட்டுத்தொகையின் மூன்றில் ஒரு பங்கு மதிப்பு இடவேண்டும்.கூட்டு தொகை 12 எனில் நடுக் கட்டத்தில்(2,2)  இட வேண்டிய மதிப்பு 12/3=4.

3. . ஒரு மாய சதுரத்தில் நடு வரிசை(2வது),நடு நிரல்(2வது) ,இரு மூலை விட்ட எண்கள் அனைத்தும் ஒரு கூட்டு தொடர் வரிசையில் இருக்கும்.

அது என்ன கூட்டு தொடர் என்பவர்களுக்கு சில் எ.கா

1,2,3,4,....

1,3,5,7,9,

2,4,6,8,..

3,6,9,12,...

ஒரு எண் அதன் முன் பின் எண்களின் வித்தியாசம் சமமாக் இருக்கும்.

.

4.அதாவது நடு எண்(கூட்டுத்தொகை/3) வைத்து வாய்ப்புள்ள (குரைந்த பட்சம் 4) கூட்டுத் தொடர் அமைக்க முடிகிறதா என்று பார்க்க வேண்டும்.

இங்கு நடு எண் 4

சரி கூட்டு தொடர்கள்

அ) 3,4,5(வித்தியாசம் 1)

ஆ)2,4,6(வித்தியாசம் 2)

இ)1,4,7(வித்தியாசம் 3)

ஈ)0,4,8(வித்தியாசம் 4)

இப்போது ஏன் 12க்கு குறைவாக் அமைக்க முடியாது என்று புரிந்து இருக்கும்.இந்த 12க்கு இந்த ஒரு தீர்வு மட்டுமே. எவ்வளவு அதிக கூட்டுத் தொடர்கள் அமைக்க முடிகிறதோ அப்போது பல சதுரங்கள் ஒரே கூட்டு தொகைக்கு அமைக்க இயலும். 

5. இப்பொது அந்த கூட்டுத் தொடர்களின் ஏதேனும் இரண்டை மூலை விட்ட வரிசைகளாக்(அல்லது நடு வரிசை& நடு நிரல்) இட்டால் பாதி வேலை முடிந்தது.Blue color 

1(1,1)	6(1,2)	5(1,3)
8(2,1)	4(2,2)	0(2,3)
3(3,1)	2 (3,2)	7(3,3)

6.மீதம் உள்ள எண்களை எளிதில் கண்டு பிடிக்க்லாம் ஏனெனில் மொத்த கூட்டு தொகை 12.(red color) முதலில் (1,2) அதன் நிரல் முடிவு(3,2) கண்டு பிடிக்கவும்.

(1,2)=12-(1+5)=6

(3,2)=12-(3+7)=2

சோதிக்க 2,4,6, கூட்டுத் தொடர் .இப்படி இல்லை எனில் மூலை விட்ட உறுப்புகளுக்கு வேறு இரு கூட்டுத் தொடர் இடவும்.

7.இதே போல் (2,1) மற்றும் (2,3) நிரப்பவும்.சில முறை செய்தால் எளிதாக் பிடிபடும்.

____________

இன்னும் கொஞ்சம் அதிகம் கற்போம் இப்போது ஒரு மாய சதுரத்தில் ஒற்றை(Odd) எண்கள் மட்டுமோ அல்லது இரட்டை(Even)  எண்களோ வரும் படி செய்ய இயலுமா எனில் முடியும்.

எப்படி எனில் இதே போல்தான் கொஞ்சம் சில மற்றங்கள்.

ஒரு எ.கா கூட்டுத் தொகை 27 எடுத்துக் கொள்வோம்.ஒற்றைப்(இரட்டை) படை எண்களால் மட்டும் மாய சதுரம் அமைக்க கூட்டுத் தொகையும் ஒற்றை(இரட்டை) படையாக் மட்டுமே இருக்க முயும்.

ஒற்றை எண்+ஒற்றை எண் +ஒற்றை எண்=ஒற்றை எண்

இரட்டை எண்+இரட்டை எண் +இரட்டை எண்=இரட்டை எண்

1. நடு எண்=27/3=9

2. 9ஐ வைத்து கூட்டுத் தொடர்கள் வித்தியாசம் இரட்டையாக் இருக்க வெண்டும் 

அ) 7,9,11(வித்தியாசம் 2)

ஆ)5,9,13((வித்தியாசம் 4)

இ)3,9,15((வித்தியாசம் 6)

ஈ) 1,9,17((வித்தியாசம் 8)

இதற்கு மேல் வாய்ப்பில்லை ஆக்வே ஒற்றை எண்களால் மாய சதுரம் அமைக்க் முடியும் குறைந்த பட்ச எண் 27 என்று அடித்து கூறுவது எனக்கு கேட்கிறது.உங்களுக்கு கற்பூர புத்தி!!!!!!.வாழ்த்துகள்.

.நம்க்கு புரிய அதிக நேரம் ஆயிற்று.

  3.முதலில் இரு மூலை விட்டங்களிலும் இரு கூட்டுத்தொடர்களை இடுவோம். மீதி எண்களை நிரப்பும் போது சிக்கல் வருகிரது 

5		11
	9
7		13

ஆக்வே இது முடியாது.ஒரு மூலை விட்ட உறுப்பை மட்டும் மாற்றுவோம் (அதிக பட்சம் 4 வாய்ப்புகளில் வந்து விடும்)

Magic Square:B

3	13	11
17	9	1
7	5	15

அவ்வளவுதான்.இரட்டை எண்களில் கூட்டுத் தொகையும் இரட்டை எண் வரும்படி முயற்சியுங்கள்.

முடிவுரை

1.ஒரு மூன்றால் வகுபடும் ஒரு எண்ணை மாயச் சதுரமாக் எழுத முடியும்.

2.அதனை ஒறை எண்கள் அல்லது இரட்டை எண்கள் மட்டும் வரும் வண்ணம் எழுத முடியும்.கூட்டுத்தொகை ஒற்றை(இரட்டை) எண் எனில் ஒறை(இரட்டை) எண்கள் மட்டுமே வரும் வகையில் முடியும்.

3.இதில் 12 ம் அதற்கு மேல் உள்ள எந்த மூன்றின் மடங்கிற்கும் மாய சதுரம் அமைக்க இயலும்.இரட்டை எண்களால் மாய சதுரம் அமைக்கும் குறைந்த பட்ச எண் 24, ஒற்றை எண்கள் மட்டும் எனில் 27.

4 இந்த பதிவில் கொடுக்கப் பட்டுள்ள இரு சதுரங்களை கொண்டே எந்த மூன்றின் மடங்கிற்கும் எளிதில் அனைத்து எண்களாலோ அல்லது ஒற்றை ,இரட்டை எண்களாலோ அமைக்க இயலும்.

எ.கா 1002 கூட்டுத் தொஅகை வரும்படி அ)அனைத்து எண்கள் ஆ) இரட்டை(ஒற்றை) எண்கள் மட்டும் வரும் படி இரு மாய சதுரங்கள் அமைக்க எளிய முறை.

இது நம் குறுக்கு வழி

அ) அனைத்து எண்க‌ள் எனில் மாய சதுரம் A  எடுத்து

கூட்டுத் தொகையின் மூன்றில் ஒரு பங்கில் இருந்து 4 ஐ கழிக்க வேண்டும்.

1002/3‍- 4=330.

இந்த 330 எண்ணை மாய சதுரம் A ன் அனைத்து உறுப்பு எண்களிலும் கூட்டி விட்டால் முடிந்தது.

1	6	5		331	336	335
8	4	0	+330	338	334	330
3	2	7		333	332	337

ஆ) இந்த எண் 1002 இரட்டை எண் என்பதால் இரட்டை எண்கள் மட்டும் வரும்வகையில் எழுத முடியும்.இப்போது மாய சதுரம் B எடுத்து1002/3 -9=325 கூட்டினால் இரட்டை எண்களினால் ஆன மாய சதுரம் கிடைக்கும்.

3	13	11		328	338	336
17	9	1	+325	342	334	326
7	5	15		332	330	340

அடுத்த பதிவில் இன்னும் கொஞ்சம் 4 X4 மாயசதுரம் இருந்து 8 X8 வரை பார்ப்போம்.

சந்தேகம் இருப்பின் கேட்கலாம்.நன்றி

இத்தொட‌ர் எழுத் ஊக்கமும் ஆக்கமும் தந்த நண்பர் ஜெயதேவ் தாஸ்க்கு நம் மன்ம் கனிந்த நன்றி!!!!!!!!!!!