இரமானுஜத்தின் கணித முறைகள் :மாயசதுரம் 1.2

369 கூட்டுத் தொகை வரும் 9 X9 மாய சதுரம்

இப்பதிவில் 3X 3& 4 X4 மட்டும்  பார்த்து விட்டு வேறு கணிதம் கற்க செல்வோம்.

இதுதான் போன பதிவிலேயே பார்த்தாயிற்று என்றாலும் இரானுஜத்தின் மேதமையை கொஞ்சாமவது புரிந்து கொள்ள வேண்டுமெனில் அவ்ரின் பங்களிப்பாக‌ மாய சதுரம் என்பதை எந்த அள்வில்(dimension) வேன்டுமானாலும் பல் தீர்வு(இருப்பின்) கண்டுபிடிக்கும் முறையை அளித்துள்ளார் என்பதை அறிய வேண்டும். 

இப்போது 3 X3 மாய சதுரம் இரானுஜத்தின் பொதுவான முறை 

1.இரமானுஜம் ஒரு 3X 3 (nXn)மாய சதுரத்தை 6 (2*n)எண்களால் வரையறுக்க முடியும் என்கிறார்.(For nXn 2*n numbers are required)

2.இந்த எண்களை 3(n) அளவுள்ள இரு குழுவாக் பிரிக்கிறார். 

ஒற்றை ப்டை (3,5,7...) அளவுள்ள சதுரத்திற்கு இந்த எண்கள் போன பதிவில் கூறிய படி கூட்டுத் தொடராக் இருக்க வேண்டும்.இரட்டை ப்டை (4,6,8...) அளவுள்ள சதுரத்திற்கு இது அவசியமில்லை.

முதல் குழு

{A,B,C}

இரண்டாம் குழு

{P,Q,R}

இந்த ஒரு குழு எண்களை அடுத்த குழு ஒவ்வொரு எண்களோடு கூட்டும் போது வரும் தொகை எந்த எண்ணும் திருப்பி வராத மாதிரி தேர்ந்தெடுக்க வேண்டும்.

எ.கா

முதல் குழு

{A,B,C}={0,1,2}

இரண்டாம் குழு

{P,Q,R}={0,3,6}

பாருங்கள்

         0+{0,3,6}={0,3,6}

         1+{0,3,6}={1,4,7}

         2+{0,3,6}={2,5,8}

இந்த 9 எண்களும் வெவ்வேறு.இந்த 9 எண்களும் எங்கு வர வேண்டும் என்பதை இரமானுஜம் தெளிவாக் வரையறுத்து விட்டார்.

A+B+C+P+Q+R=கூட்டுத் தொகை 

எழுத்து சதுரம்  3X3

C+Q	A+P	B+R
A+R	B+Q	C+P
B+P	C+R	A+Q

அந்த் இடங்களில் இட்டு நிரப்ப வேண்டியதுதான்.நம் எடுத்துக் கொண்ட  மதிப்பு எந்த பக்கம் கூட்டினாலும் 12 வரும்படி மாய சதுரம் அமைக்க முடியும்.

   

5	0	7
6	4	2
1	8	3

கூட்டுத் தொகைக்கு ஏற்ப குழுக்களுக்கு மதிப்பு அளித்தால் எந்த மூன்றால் வகு படும் எண்ணுக்கும் மாய சதுரம் அமைக்க முடியும்.ஒற்றை படை அளவு(5,7,9.. ) இந்த குழு எண்கள் கூட்டுத் தொடராக் இருப்பது இன்றியமையாதது.

5,7,9..இப்படியே அனைத்துக்கும் இரமானுஜம் வடிவமைத்துள்ளார்.இதனை கொஞ்சம் கூர்ந்து கவனித்தால் உங்களுக்கும் அமைக்கும் முறை பிடிபடும்.மாய சதுரம் தவிர்த்து பிற‌ கணித பகுதிகளுக்கும் செல்ல வேண்டும் என்பதால் இது குறித்து இன்னும் தகவல் வேன்டுமென்பவர்கள் தெரிவித்தால் ஆவண‌ செய்யலாம்.

இதெ போல் 4 x 4 இதர இரட்டை எண் அளவுள்ள சதுரத்திற்கு இராமனுஜம் வரையறுத்த சதுரம் இதோ.இது எப்படி வந்தது என்றால் ,கொஞ்சம் கடினமாக் இருக்கும் என்பதால் கொடுக்கவில்லை.இங்கு குழு எண்கள் கூட்டுத் தொடராக் இருக்க அவசியமில்லை.

எழுத்து சதுரம்  4X4

A+S	C+P	D+R	B+Q
D+Q	B+R	A+P	C+S
B+P	D+S	C+Q	A+R
C+R	A+Q	B+S	D+P

எ.கா

முதல் குழு

{A,B,C,D}={0,1,2,3}

இரண்டாம் குழு

{P,Q,R,S}={0,4,8,12}

12	2	11	5
7	9	0	14
1	15	6	8
10	4	13	3

இப்போது கூட்டுத் தொகை 30 உள்ள மாய சதுரம் தயார்.இந்த இரட்டைப் படை அளவு கொள்சதுரத்தில் எந்த கூட்டுத்தொகை எண்ணுக்கும் மாய சதுரம் அமைக்க முடியும்(குறைந்த பட்சம் 30).கூட்டு தொகை 31 வேண்டுமெனில் இரண்டாம் குழுவில் கடைசி எண் மட்டும் 13 ஆக மாற்றினால் தயார்.

முதல் குழு

{A,B,C,D}={0,1,2,3}

இரண்டாம் குழு

{P,Q,R,S}={0,4,8,13}

13	2	11	5
7	9	0	15
1	16	6	8
10	4	14	3

வித்தியாசம் புரியும் என நினைக்கிறேன்.இப்போது 32 வேண்டுமெனில் சிவப்பு நிறத்தில் உள்ள எண்கலை மட்டும் ஒன்று அதிகரித்தால் போதும்.இந்த குழு எண்கள் (நிபந்தனைகளுக்கு உட்பட்டு)தேர்ந்தெடுப்பது உங்கள் கையில் என்பதால் எண்ணற்ற சதுர‌ங்கள் அமைக்க முடியும்.

இதே போல் 5,6,7,.. என்று போய்க் கொண்டே இருக்க்லாம் என்றாலும் .இப்படி ஒவொரு அளவிற்கும் ஒரு எழுத்து சதுரம் அமைத்தால் போதும் என்பது உங்களுக்கு புரிந்து இருக்கும்.இந்த எழுத்து சதுரம் கூட அமைப்பது கொஞ்சம் உழைத்தால் கற்றுக் கொள்ள முடியும் அதற்கு பல் நிரூபண்ங்கள் தேவை என்பதால் குறிப்பிடவில்லை.

இதில் நம் இரமானுஜம் பல வித்தைகள் காட்டியுள்ளார்.இதை பற்றியே 100 பதிவு இடும் அளவு விஷயம் வடிவமைத்த மாமேதையின் அறிவையும் உழைப்பையும் எண்ணிப் பார்க்க்வே ஆச்சர்யமாக் உள்ள‌து. 

மாய சதுரங்கள் முடிந்தது அடுத்த அத்தியாயத்தில் இன்னும் வேறு வகை இரமானுஜத்தின் கணிதத்துடன் சந்திப்போம் நன்றி!!!!!!!!!!!.

முந்தைய பகுதி

இரமானுஜத்தின் கணித முறைகள் : மாயச் சதுரங்கள் 1.1.