இப்புதிருக்கு தீர்வு கண்டால் 5 கோடி ரூபாய்(1 மில்லியன் டாலர்) பரிசு!!!

வணக்கம் நண்பர்களே,

அறிவியலில் நிரூபணம் ஐயந்திரிபர அளிக்க இயலும் ஒரே துறை கணிதம் ஆகும்.ஒரு கருதுகோள் அல்லது கூற்று எந்த சூழலில் உண்மையாக இருக்கும் என்பதை அறிவியலில் பரிசோதனை மூலம் உறுதி செய்தாலும்,பரிசோதை கருதுகோளின் அனைத்து அம்சங்களையும் ,பரிசோதனையில் 100% கொண்டு வர முடிந்தது என சொல்ல முடியாது. ஆனால் கணிதத்தில் பல கருதுகோள்கள் பிற கணித [நிரூபிக்கப் பட்ட]தேற்றங்கள்,விதிகள் மூலம் நிரூபணம் அளிக்க இயலும்.

கணிதம் என்பது ஒரு பெருங்கடல்,அல்லது எல்லையற்ற பிரபஞ்சம் போல் எனலாம். கணிதத்தில் எண்கணிதத்தில் நமது தமிழகத்தை சேர்ந்த திரு.இரமானுஜம் பல அரிய கண்டுபிடிப்புகள், நிரூபண பங்களிப்பு   செய்தார் என்பது குறிப்பிடத் தக்கது. எண்கணிதம்[number theory] சார்ந்த பல புதிர்களில் நிரூபணங்கள் சில நூற்றாண்டுகளாக தீர்க்கப் படாமல் உள்ளன. அப்படி ஒரு புதிரைத் தீர்த்தால் ஒரு மில்லியன் டாலர்[சுமார் 5 கோடி ரூபாய்] பரிசு என அறிவிக்கப் பட்டுள்ளது.

இதற்கு பரிசு இவ்வளவு அளிக்க வேண்டியது இல்லை என்பது நம் கருத்து. ஒரு வேளை தீர்வு காணும் அறிஞருக்கு,ஆய்வுகளைத் தொடர நல்ல வசதி வாய்ப்பு, அவரின் பங்களிப்புகள் கணித மாணவர்கள் அனைவருக்கும் சென்றடைய ஆவண செய்வதே சால சிறந்தது என கூறுகிறோம்.

பணம் என்னும் ஒப்பீட்டு மதிப்புமுறை ,சமூகத்தில் எல்லா தளங்களிலும் ஏற்றத் தாழ்வை ஏற்படுத்துவதில் முதன்மைப் பங்காற்றுகிறது என்பது உண்மையே!!.கல்வியில் பொருளாதார நலன் மட்டுமே சார்ந்து பணியை நாடுபவர்களின் எண்ணிக்கை பெருகி வருவது கல்விக்கு எந்த பயனையும் ஆற்றாது.

சரி புதிருக்கு போவோம். இந்த புதிரின் ஒரு மாறுபட்ட வடிவத்திற்கு நிரூபணம் வழங்கப்பட்டதை நாம் ஏற்கெனவே பதிவாக்கி,அந்த ஆவணப் படத்தையும் அதில் அளித்து இருந்தோம்.ஃபெர்மேட்டின் இறுதி தேற்றம் என்னும் புதிரின் நிரூபணத்தை ஆண்ட்ரூ வைல்ஸ்[Andrew wiles] என்னும் கணித ஆய்வாளர் தீர்வு கண்டதைப் பற்றிய பதிவே அது.

ஃபெர்மேட்டின் இறுதி தேற்றத்தின் கதை: காணொளி

பிதாகரஸ் தேற்றத்திற்கு முழு எண் தீர்வுகள் கண்டறியும் விதம்

"இரு முழுஎண்களின் இரண்டுக்கு மேற்பட்ட அடுக்குகளின் கூடுதலை,இன்னொரு முழு எண்ணின் அடுக்கு மதிப்பாக கூற இயலும் போது, அந்த மூன்று எண்களுக்கும் குறைந்த பட்சம் ஒரு பகா எண் காரணியாவது இருக்கும்."

அதைப் பற்றி சிறிய முன்னோட்டம் கொடுத்து பிறகு, ஒரு மில்லியன் பரிசு தரும் பீள் கணிப்பு [Beal conjecture] புதிர் பற்றி பார்ப்போம்.

ஃபெர்மாட்டின் இறுதி தேற்றம் என்ன சொல்கிறது?

பிதாகரஸ் தேற்றத்தின் இரண்டுக்கு அதிக பரிமாண[dimension] அளவில், முழு எண்களில் தீர்வு கிடையாது!!

என்ன சகோ தெளிவாக சொல்லுங்கள் என்கிறீர்களா!!

பிதாகரஸ் தேற்றம் தெரியும் அல்லவா, ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தின் கர்ணத்தின்[hypotenuse] வர்க்கம் ஆனது மற்ற இரு பக்கங்களின் வர்க்கங்களின் கூடுதலுக்கு சமம்.

a^2+b^2=c^2

இதற்கு முழு எண் தீர்வுகள் பல் உண்டு. எ.கா [3,4,5].[5,12,13] எப்படி முழு எண் தீர்வுகள் காண்பது என்பதையும் பதிவு இட்டு இருக்கிறோம்.

பிதாகரஸ் தேற்றம் வர்க்கம் அதாவது இரு பரிமாண அடுக்குகள் பற்றி கூறுகிறது இப்போது இரண்டுக்கு அதிகமான பரிமாணத்தில் பிதாகரஸ் தேற்றத்திற்கு முழு எண்களில் தீர்வு இல்லை என்பதே ஃபெர்மேட்டின் இறுதி தேற்றம் கூறும் கணிப்பு ஆகும்.

a^n+b^n=c^n,   n>2

a,b,c,n=முழு எண்கள் [integers]

இப்போது பீள் கணிப்புக்கு செல்வோம்.

http://www.bealconjecture.com/

BEAL'S CONJECTURE:  If A^x + B^y = C^z, where A, B, C, x, y and z are positive integers and x, y and z are all greater than 2, then A, B and C must have a common prime factor.

தமிழர்களின் தாய்மொழியாம் ஆங்கிலத்தில் சொல்லி இருப்பதால் புரியும் என்றாலும்,போனால் போகட்டும் என தமிழிலும் சொல்வோம்.

ஃபெர்மேட்டின் தேற்றத்தைப் போல்  அடுக்குகள் அளவுகள் சமமாக இருக்க வேண்டியது இல்லை என்பதும், அப்படி அளவுகள் சமமாக இல்லாது போது இந்தக் கூற்று உண்மை ஆகும்.

Aⁿ + Bⁿ = Cⁿ

{ [ஃபெர்மேட்டின் தேற்றம்,முழு எண் தீர்வு இல்லை,x=y=z=n!!!}

If A^x + B^y = C^z, முழு எண் தீர்வு உண்டு!!

{x,y,z}>2

{A,B,C,x,y,z}= முழு எண்கள் [integers]

சரி தீர்வுதான் இருக்கிறதே அப்புறம் என்ன சிக்கல் என்கிறீர்களா.இந்த தீர்வுகளுக்கு பொதுவாக ஒரு பகா எண் காரணியாவது இருந்தே ஆகும் என்பதுதான் பீள் கணிப்பு!!!

சரி ஒரு எ.கா பார்த்துவிட்டு புதிரை வரையறுப்போம்.

2⁶ + 4³ = 2⁷

­­­இப்படி தீர்வுகளில் உள்ள  A,B,C முழு எண்களுக்கு பொதுவான பகா எண் காரணி உண்டு என்பதுதான்,பீள் கணிப்பு ஆகும். நாம் பார்த்த எ.கா வில் கூட A=2 ,B=4 ,C=2 இவற்றின் பகா எண் காரணி[prime factor] 2 என எளிதில் உணரலாம்.

A^x + B^y = C^z,

இப்போது இந்த சமன்பாட்டின் முழு எண் தீர்வுகளில் A,B,C மூன்று எண்களுக்கும் பொதுவான பகா எண் காரணி இல்லாமல் ஒரு தீர்வு கண்டுபிடித்தால் ,பீள் கணிப்பு தவறாகி விடும்.

இப்படி பொது பகா எண் காரணி இல்லாமல் ஒரு எ.கா எனில் A=2 ,B=3 ,C=5 என் வைப்போம் x,y,z எந்த முழு மதிப்பு இட்டாலும் தீர்வு கிட்டாது.ஏன்???

ஆகவே பீள் கணிப்பு தவறு என ஒரு எ.கா அல்லது,[பொதுவான பகா எண் காரணி இல்லாத‌] தீர்வு இருக்க முடியாது என நிரூபணம் அளித்தால் ஒரு மில்லியன் டாலர்[5 கோடி ரூபாய்] என்பதுதான் புதிர்.மேலதிக தகவல் இங்கே பெறலாம்.

http://ns3.ams.org/bealprize.html

நன்றி!!!!

தொடர் பின்னக் கூட்டல் அறிவோமா? Part 3

வணக்கம் நண்பர்களே,

சென்ற இரு பதிவுகளில் தொடர் பின்னக் கூட்டல் பற்றி அறிந்தோம் . இப்பதிவில் அதற்கும்  ஃபிபோனோசி  தொடருக்கும் உள்ள  தொடர்பு  மட்டும்  பார்த்து விடுவோம்.

ஃபிபொனோசி  தொடர் என்றால் சென்ற பதிவில் இறுதியில் இலேசாக கோடிட்டு காட்டி இருந்தோம்.வரலாறு, அறிவியலில் ஒரு விடயத்தின் மாற்றம் என்பது அதன் கடந்த கால நிலைகளை பொறுத்தது. அதற்கு கணிதத்தில் எ.கா எனில் ஃபிபோனோசி தொடர் சொல்லலாம். ஒரு தொடரின் இப்போதைய எண்,முந்தைய எண் இவற்றின் மூலம் அடுத்த எண்ணை கண்டுபிடிப்பதுதான் இது. அனைவரும் அறிந்த

எளிய ஃபைபோனோசி தொடர்

1,1,2,3,5,8,11,19,…..

அதாவது எந்த தொடர்ந்த  இரு எண்களைக்  கூட்டினாலும் அடுத்த எண் கிடைக்கும்.இதில் குறிப்பிடத்தக்க விடயம் என்னவெனில் அடுத்தடுத்த எண்களின் விகிதம் ஒரு குறிப்பிட்ட மதிப்பை நோக்கி செல்லும்,

S.No	Fibonocci Number	A(n-1)/A(n)	A(n)/A(n-1)
1	1	1	1
2	1	0.5	2
3	2	0.666666667	1.5
4	3	0.6	1.666666667
5	5	0.625	1.6
6	8	0.615384615	1.625
7	13	0.619047619	1.615384615
8	21	0.617647059	1.619047619
9	34	0.618181818	1.617647059
10	55	0.617977528	1.618181818
11	89	0.618055556	1.617977528
12	144	0.618025751	1.618055556
13	233	0.618037135	1.618025751
14	377	0.618032787	1.618037135
15	610	0.618034448	1.618032787
16	987	0.618033813	1.618034448
17	1597	0.618034056	1.618033813
18	2584	0.618033963	1.618034056
19	4181	0.618033999	1.618033963
20	6765

இங்கே மதிப்பு விகிதம்   A(n)/A(n-1) தங்க சராசரி விகிதம் எனப்படும்

<!--[if !vml]--><!--[endif]-->

http://en.wikipedia.org/wiki/Golden_ratio

சரி ஃஃபிபோனோசி தொடர் எனில் 

1.தொடர்ந்த இரு எண்களின் தொடர்பில் அடுத்த எண் வரும்.

2. அடுத்த எண்களின் விகிதம் ஒரு குறிப்பிட்ட மதிப்பை நோக்கி செல்லும்.

இதற்கும் தொடர் பின்னத்திற்கும் என்ன தொடர்பு?

மீண்டும் இரமானுஜம் தீர்வு கண்ட புதிருக்கு செல்ல வேண்டியதுதான்.

அப்புதிரின் விடை தொடர் பின்னம் என்பதையும் அதன் ஒவ்வொரு ஒருங்கும்[stage] தீர்வே என்பதை சென்ற பதிவுகளில் அறிந்தோம்.ஆனால் ஒவ்வொரு ஒருங்கையும் கணக்கிடுதல் அதிக வேலை தரும் செயல் ஆக இருப்பதால் ஒருங்கையும் ஃபிபோனோசி தொடர் மூலம் கணக்கிடலாம் என்பதுதன் இப்பதிவின் நோக்கம். 

ரமானுஜம் தீர்வு கண்ட புதிர்

  x,y=integers

ஆனால் இராமானுஜன்புதிரைக் கேட்டவுடனேயே, இதன் விடை ஒரு தொடர் பின்னத்தில் இருக்கிறது என்று கீழ்வரும் தொடர் பின்னத்தை சொன்னார்:

புதிருக்கு தீர்வு காணும் முறை பகுதி இரண்டில் விள்க்கினாலும் மீண்டும் விள்க்குகிறோம்.

K =10 ஆகவே b=6

எப்படி???

b^2/4+1=K i.e -----6*6/4+1=10

'b/2=3' முழு எண்ணாகவும் b=6 தொடர் பின்னமாகவும் வரும் என்பதும் நாம் அறிந்ததே இபோது விடையை  பாருங்கள்.மலைப்பாக இருக்காது!!!

எனினும் ஒவ்வொரு ஒருங்கையும் ஃபைபோனோசி தொடராக எளிதாக  கணிப்பதே நாம் விரும்புகிறோம். 

கணிதம் கண்டுபிக்கப்பட்டதே நமது சோம்பலை வளர்க்கவே!!!

ஹி ஹி!!!!

சென்ற இரு பதிவும் புரியாதவர்கள் கூட இப்பதிவை புரிய முடியும். தீர்வு காண  கீழ்க்கண்டது போல் ஒரு கட்டங்கள் எக்செல்[excel] அல்லது காகிதத்திலோ வரையலாம்.
முதல் அடுக்கு(column) வரிசை எண் மட்டுமே.

இரண்டாம் அடுக்கு  தீர்வின்  'y' அளிக்கிறது .இது 'b=6' ன் மதிப்பு சார்ந்தது. 

மூன்றாம் அடுக்கு  தீர்வின்  'x' அளிக்கிறது .இது b/2=3 ன் மதிப்பு சார்ந்தது. 

கடைசி அடுக்கு தீர்வினை சோதித்து +1 அல்லது -1 வருகிறதா என சோதிக்கிறது.

S.no	y…(b=6)	x…(b/2=3)	x^2-10y^2
	A	B		x/y	x^2/y^2
0	0
1	1	3	-1	3	9
2	6	19	1	3.166667	10.02778
3	37	117	-1	3.162162	9.99927
4	228	721	1	3.162281	10.00002
5	1405	4443	-1	3.162278	9.999999
6	8658	27379	1	3.162278	10
7	53353	168717	-1	3.162278	10
8	328776	1039681	1	3.162278	10
9	2026009	6406803	-1	3.162278	10

முதல் தீர்வு A1= y=1 ,  B1=x=b/2=3

A2=b*A1+A0=6*1+0=6        B2=(b/2)*A2+A1=3*6+1=19

A3=b*A2+A1=6*6+1=37        B3=(b/2)*A3+A2=3*37+6=117

........

.........

A(n)=b*A(n-1)+A(n-2)               B(n)=(b/2)*A(n)+A(n-1)

x^2-y^2=+1 or -1 க்கான தீர்வும் அளிக்கிறோம்!!!

K=2 so b=2.....b^2/4+1=K...4/4+1=2

Y ‘b=2’	X ‘b/2=1’	x^2-2y^2
1	1	-1
2	3	1
5	7	-1
12	17	1
29	41	-1
70	99	1
169	239	-1
408	577	1
985	1393	-1

எளிதாக கணிப்பான் கொண்டோ எக்செல் சீட்டிலோ எளிதாக எந்த அளவு வேண்டுமோ கணக்கிடலாம். எக்செல் சீட்டில் 10 தசம இடம்[decimals] மட்டுமே வருவதால் அதிக தீர்வுகள் வேண்டுபவர்கள் முழு எண் தீர்வுக்கு வேறு அறிவியல் மென்பொருள் பயன்படுத்த வேண்டும். எனினும் இதே முறையே பலன் அளிக்கும்.

ஆகவே புதிரில் K ன் மதிப்பு அறிந்து 'b' கணித்து மேலே சொன்ன கட்டம் ஃபிபோனோசி தொடர்போல் சூத்திரம் கொண்டு எழுதினால் ஒருங்குகள் எளிதில் கணக்கிடலாம்.

கேள்விகளை தயக்கமின்றி கேட்க வேண்டுகிறேன்!!!

நன்றி நன்றி நன்றி!!!!!!!!

Some more information for interested.!!

Pi Continued Fraction

http://mathworld.wolfram.com/PiContinuedFraction.html