Saturday, September 1, 2012

தொடர் பின்ன கூட்டல் அறிவோமா:பகுதி2


வணக்கம் நண்பர்களே,

சென்ற பதிவில் ஒரு தொடர் பின்ன(Continued Fraction) தொடர் வரிசை பற்றிய எளிய  அறிமுகம் கற்றோம். அறிவியலில் பல விடயங்கள் போல் இதுவும்  பல பயன்பாடுகள்,நுணுக்கங்கள் கொண்ட கணிதமுறையே.  பதிவுகளில் நாம் படிப்பதில் தமிழாக்கம் செய்து வெளியிடுகிறோம்.இது  சில இளைய தலைமுறைக்கு அறிவியலில் ஈடுபாடு ஏற்படுத்தினால் நல்லதே என்ற நோக்கம் மட்டுமே.

அறிவியல் என்பது கடினமானது அல்ல,முறையான   ,தொடர் கற்றலே சரியாபுரிதல் ஏற்படுத்தும்.குறிப்பிட்ட கல்லூரியில் ,பள்ளியில் படித்தால் மட்டுமே அறிவியல் சரியாக அறிய முடியும் என்பது தவறான கருத்து. கற்றல் என்பது இப்போது எவரும் எதனையும் கற்பது மிக எளிதாகியே வருகிறது.

அனைத்து அறிவியல் கட்டுரைகளுமே தமிழில் வர வேண்டும் என்பதே நம் நோக்கம். தமிழ் பதிவுலகம் பல துறைகளில் சாதனை புரிந்து பீடு நடை போடுவது போல் அறிவியல் பதிவு சார் கல்வியிலும் மென்மேலும் சாதனை புரியும் என எதிர்பார்க்கிறோம்..

சரி பதிவுக்கு செல்லலாம்.

சென்ற பதிவில் இருந்து இக்கேள்விகளைப் பெற்றோம்.இதற்கு இப்பதிவில் விடை அறிவோம்!!!

1.அப்போது ஒவ்வொரு தொடர்பின்னத்துக்கும் இப்படி புதிர் போட முடியுமா?

2.அந்த முழு எண் புதிரில் இருந்து தொடர்பின்ன விடை எப்படி கொண்டுவருவது?

அல்லது

தொடர் பின்னத்தில் இருந்து முழு எண் புதிர் எப்படி கொண்டு வருவது?


ஒரு எண்ணின் வர்க்க மூலத்தை தொடர் பின்ன கூட்டலாக எழுதலாம் என்பதை சென்ற பதிவில் கற்றோம் அதாவது

                                                                                                                                                                                   

                           (1)

இப்போது இரமானுஜம் தீர்வு கண்ட புதிரின் பொதுவான அமைப்பு பார்ப்போம்!!

                              (2)



இதனை கொஞ்சம் மாற்றி எழுதினால்



அதாவது

                                                                                                                                           (3)

சமன்பாடு(3) க்கு பல தீர்வுகள் உண்டு அதில்  ஒன்று

y=1!!!!

சமன்பாடு [General Solution is]
(4)

என கணிக்கலாம். 'b' ஒரு  முழு எண்[b is an integer]

இரமானுஜம்  தீர்வு கண்ட புதிரில்  K  ன் ம‌திப்பு 10. ஆகவே sqrt(10) ன் தொடர் பின்ன தீர்வு அமைப்பின் ஒவ்வொரு ஒருங்கும்(stage)  தீர்வு ஆனது.

இபோது இரு சமன்பாடுகளை பார்த்தவுடன் முதல் ஒருங்கு  x=b/2, y=1

பிரதியிட்டால் சரியாக தீர்வு வருகிறது




இரண்டாம் ஒருங்கு




So




பிரதியிட்டால்




சரியாக தீர்வு வருகிறது.
...

இது போல் அனைத்து ஒருங்கிற்கும் வரும் என கணித ரீதியாக நிரூபணம் கொடுக்க முடியும் என்றாலும் கடினம் கருதி தவிர்க்கிறேன்.

நாம் நினைவில் கொள்ள வேண்டியவை இதுதான்.


ஒவ்வொரு 'b' மதிப்புக்கும் ஒரு புதிர் சமன்பாடு கிடைக்கும். அதன் K மதிப்பு மட்டும் கண்க்கிட்டால் போதும்.பிறகு  Kன் வர்க மூலத்திற்கு தொடர்பின்னம் எழுத வேண்டியதுதான். ஒவ்வொரு ஒருங்கும் தீர்வு தரும்.!!!

Just write continued fraction expansion for  square root of ''K' corresponding to 'b' value.Every stage is a solution!!!!

 
S.No     b   K
115/4
228/4
3313/4
4420/4
5529/4
6640/4
7753/4
8868/4
9985/4
1010104/4




இப்போது புதிர் சமன்பாடு எப்படி அமைப்பது என அறிந்து கொண்டோம்.


இபோது ஃபைபோனோசி தொடருக்கும் தொடர் பின்னத்திற்கும் தொடர்பு உண்டு என்பதை அடுத்த பதிவில் அறிவோம்!!!!

பைபோனோசி தொடர் எனில் 1,1,2,3,5,8,,....

எந்த இரு அடுத்தடுத்த  எண்களை  கூட்டினால் மூன்றாம் எண் கிடைக்கும்.

http://library.thinkquest.org/27890/mainIndex.html

a1+ a2= a3

or
a(n-1)+a(n)=a(n+1)

 இது எலிகளின் இனப்பெருக்க விகிதத்தில் இருந்து அறியப்பட்ட விடயம்.


அடுத்த பதிவில் சந்திப்போம்!!!!!!!!!!

நன்றி!!!!!!!!



I thank this website for their online  equation editor.

http://rogercortesi.com/eqn/index.php

15 comments:

  1. வாங்க சகோ குரு நலமா,
    பதிவின் முந்தைய பகுதியும் படித்து இருப்பீர்கள் என நம்புகிறேன்.
    வருகைக்கு நன்றி!!!!

    ReplyDelete
  2. வணக்கம் ......... வர்ட்டா ..?

    ReplyDelete
    Replies
    1. வாங்க தருமி அய்யா,

      வணக்கம். நமக்கு தொழில் தேடல்,கற்றல்,பகிர்தல்.இதுவே நம் தியானம்,யோகம் மற்றும் ஆன்மீகம். ஆகவே கணிதம்,அறிவியல் குறிப்பாக பரிணாமம் சார்ந்தே அதிகம் எழுதுவோம்.

      இடையிடையே நம் கடை விள்ம்மபரம் போல் நம் மத விளம்பர சகோக்களுக்கும் சில விளக்கம் அளிப்போம்.இது கடைகள்க்கு இடையேயான விள்மபர தொழில் போட்டி மட்டுமே!!!

      இதுவே நம் பதிவுகளின் சாரம் ஆகும்!!!!!!!!!!!!!!!!!!.

      ஆகவே உங்களுக்கும் பிடிக்கும் பதிவு வருவது என் கையில் இல்லை!!.எல்லாம் நம் சகோக்கள் செயல்!!!


      நன்றி

      Delete
  3. வணக்கம் சார்

    எங்களைப் போன்றவர்களுக்கு குழப்பமாகத் தெரிந்தாலும் இதில் ஈடுபாடுள்ளவர்கள் மற்றும் இக்கணிதம் படிக்கும் மாணவர்களுக்கு மிகவும் பயனுள்ளதாக அமையும் என்பதில் சந்தேகமில்லை. நீங்கள் கற்றதை பிறரும் கற்க வேண்டும் என்ற உயரிய எண்ணம் உங்களை நினைவு கொள்ள வைக்கும் என்பது உறுதி வாழ்த்துக்கள்.

    நன்றி ....

    இனியவன்.......

    ReplyDelete
    Replies
    1. சகோ இனியவன்,

      வாங்க,வணக்கம்,எதுக்கு சார் ,மோர் என்ற விளித்தல்? சகோதரனே என்று உரிமையோடு அழையுங்கள்.

      நான் எழுதுவதற்கு சார்ந்த ,அறிந்த அல்லது மாற்றுக் கருத்து இடித்து உரையுங்கள் சகோ!. தலை வணங்கி ஏற்கிறேன்.நம்மை இயக்குவதே பின்னூட்டம் இடும் சகோக்களின் அன்பும் ஆதரவுமெ என்பதை உணர்ந்து நன்றியுடன் சொல்கிறேன்.

      இந்த கணிதம் சார் பதிவுகள் சிலருக்கேனும் பலன் அளித்தால் நன்மையே!!
      அளிப்பதை நான் அறிவேன்!!!

      நன்றி சகோ

      Delete
  4. தங்களின் வருகைக்கும் கருத்துக்கும் மிக மிக நன்றிகள் தோழர் , மதம் , அறிவியல் கலைகள் , கணிதம் , பரிமாண தத்துவம் என்று சகல துறைகளைப்பற்றியும் மிக மிக தெளிவாகவும் இரசிக்கும்படியாக எழுதுவதில் சுஜாதாவிற்கு பிறகு உங்களைத்தான் பார்க்கிறேன் உங்களை உள்ளன்போடு பாராட்டுவதில் பெருமிதம் கொள்கிறேன் . எனது வலைப்பூவின் அடிப்புறம் கூகுள் கனெக்ட் பின் தொடர்பர்கள் விட்ஜெட் உள்ளது சகோ நீங்கள் சரியாக கவனிக்கவில்லை என நினைக்கிறேன்

    ReplyDelete
  5. வணக்கம் சகோ குரு,

    ஆமாம் இபோதுதான் பார்தேன்.இணைந்து விட்டேன்.ஏதோ நம்க்கு பிடிக்கும் விடயங்களை எளிமைப்படுத்தி அளிக்கிறோம்.அனைத்தும் அன்புடன் ஆதரிக்கும்,விமர்சிக்கும் சகோக்களின் ஊக்கம் மட்டுமே!!.

    நன்றி

    ReplyDelete
  6. மிக அழகாக சுலபத்தில் புரியும் படி எழுதியுள்ளீர்கள் சகோ. உங்கள் பணி தொடரட்டும். தமிழில் இதைப் போல் மேலும் மேலும் நிறைய கட்டுரைகள் வர வேண்டும்.

    ReplyDelete
    Replies
    1. வாங்க சகோ பாஸ்கர்,
      வருகைக்கும் கருத்துக்கும் மிக்க நன்றி!

      Delete
  7. வணக்கம் சகோ,

    இது அந்த 'சார்' இல்ல சகோ. உங்கள் பெயரில் உள்ள முதல் இரு எழுத்தை சுட்டி சுருக்கமாக எழுதினேன் அவ்வளவுதான். இப்படி எல்லாம் பெயர் பொருத்தம் யாருக்கு சகோ அமையும். இடித்து உரைப்பதா? எதை எப்படி இடிக்கிறது என்று குழம்பி போயிருக்கிறேன் நீங்க வேற.

    நன்றி!!!

    இனியவன்....

    ReplyDelete
    Replies
    1. வாங்க சகோ இனியவன்,

      நீங்க அப்ப்டி வர்ரீங்களா!!!. ஹா ஹா ஹா இதெல்லாம் பொது வாழ்வில் சகஜமப்பா!!!

      நன்றி!!!!!!!!!!

      Delete
  8. சகோ.சார்வாகன்,

    // பதிவுகளில் நாம் படிப்பதில் தமிழாக்கம் செய்து வெளியிடுகிறோம்.இது சில இளைய தலைமுறைக்கு அறிவியலில் ஈடுபாடு ஏற்படுத்தினால் நல்லதே என்ற நோக்கம் மட்டுமே.//

    அஃதே,அஃதே...அது தான் நம் நோக்கமும், ஆனால் சில பிராபல்யங்கள், மொழியாக்கம் செய்துவிட்டு என்னய்யா பீத்திக்கிறன்னு அவங்களே பீத்தியதாக நினைத்துக்கொள்கிறார்கள், அவங்களும் எதுவும் செய்ய மாட்டாங்க அடுத்தவன் செய்தாலும் நொட்டை சொல்லுவாங்க.

    நீங்கள் தொடர்ந்து கலக்குங்கள் ஆனால் எனக்கும் கணக்குக்கும் பல லட்சம் ஒளியாண்டுகள் தூரம், எனவே மி..ஹி..ஹி ..வர்ரட்டா :-))

    பி.கு: இந்த ஃபிகர்களை கணக்கு செய்ய ஏதேனும் வகைக்கெழு சமன்பாடு இருந்தால் பதிவிடவும் ,பால்வெளிமண்டலம் உள்ளளவும் உங்கள் புகழ் நீடித்து நிற்கும் :-))

    ReplyDelete
  9. வாங்க சகோ வவ்வால்
    /அவங்களும் எதுவும் செய்ய மாட்டாங்க அடுத்தவன் செய்தாலும் நொட்டை சொல்லுவாங்க./

    தந்தை பெரியாரிடம் சமூக அவலங்களை எதிர்த்துப் போராட உமக்கு என்ன யோக்கியதை இருக்கிறது என்ற வினாவிற்கு.யோக்கியதை உள்ள யாரும் செய்யாததால் நான் செய்கிறேன் என மறுமொழி அளித்தார்.

    அதுபோல் நம் பதிவுகளால் சிலருக்கேனும் பலன் உண்டு. உங்கள் பதிவுகள் எனக்கு பயன்படுகின்றன. ஆகவே தூற்றுவோரின் கருத்துகளை இந்த காதில் வாங்கி அந்தக் காதில் விட்டுவிடு போய்க் கொண்டே இருக்க வேண்டியதுதான்!!


    அப்புறம் ஃபிகர்களை மடிக்க கணக்கு பண்ண வேண்டும் என்பதை த்வறாக் புரிந்து இருக்கிறீர்கள்,அது வேற நாம் சொல்வது கணிதம்.

    ஆன்மீக‌ம்,அப்ப‌டி இப்ப‌டின்னு குழ‌ப்ப‌மாக் பேசினால் ம‌ட்டுமே ந‌ட‌க்கும் விட‌ய‌ம் அது.

    நாம் செக்ஸ் என்ப‌தும் பரிணா‌ம்த்தில் தோன்றிய‌து.காத‌ல் என்ப‌து செக்சுவ‌ல் செல‌க்ச‌ன் என்று பேசினால் ஃபிக‌ர்க‌ள் வ‌ர‌வே வ‌ராது!!!.


    ஆக‌வே ஆன்மீக‌மே ஃபிக‌ர்க‌ளை க‌வ‌ர‌ ச‌ரியான் வ‌ழி!!!


    ஆக‌வே ச‌ரியான‌ குருவை தேடி ப‌ல‌ன் அடையுங்க‌ள்!!

    எதுக்கும் நித்தியை தொடர்பு கொள்ள‌வும்!!!!!!!!
    ந‌ன்றி!!!!!!!!!!





    ReplyDelete
  10. // ஆக‌வே ஆன்மீக‌மே ஃபிக‌ர்க‌ளை க‌வ‌ர‌ ச‌ரியான் வ‌ழி!!! //

    மிகச் சரியாக சொன்னீர்கள் ... கடவுளைப் பற்றி பேசுபவர்களுக்கும், பக்திமான்களாக காட்டிக் கொள்பவர்களுக்கும், பரிகாரம் அது இது எது வென எதாவது அவ்வப்போது அடித்து விடுங்கள் .. ( பல ) ஃபிகர்கள் எல்லாம் தானாக மடியும் ... !!!

    அறிவியல், நாத்திகம், பரிணாமம், சமூக அவலம், சம உரிமை எனப் பேசிப் பாருங்கள் ... தலைத் தெறிக்க எல்லாப் பிகரும் ஓடியே போய்விடும் ..

    :)

    ReplyDelete