Saturday, February 16, 2013

பூமிப் பந்து: பெரிய வட்டம்: குறுக்குப் பாதை!!!


வணக்கம் நண்பர்களே,

இப்பதிவில் பூமியின் இரு இடங்களுக்கு இடையே உள்ள தூரம் அறியும் முறை கற்போம்.

இது எதற்கு என்றால் சார்பியலை கணிதம் மூலம் கற்றல் செய்கிறோம் அல்லவா, அதில் ஒரு அடிப்படை என வையுங்கள். மெதுவாக சென்று அனைத்தையும் இணைப்போம்!!

ஒரு வரைபடத் தாள் இரு பரிமாணம் உள்ளது அதில் இரு புள்ளிகள் இடையே உள்ள குறைந்த பட்ச தூரம் என்ன என்றால் அனைவருக்கும் சூத்திரம் தெரியும்!!

முதல் புள்ளி=[x1,y1]

இரண்டாம் புள்ளி=[x2,y2]

தூரம்=
  d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}.[Two dimension]

d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2+ (z_2-z_1)^2}[Three Dimension]

Proof for two dimension


**
சரி இதுதான் தெரியுமே என்கிறீர்களா!!

இப்போது நம் பூமிப் பந்தில் ஒரு இடத்தை இரு ஆயத்தொலைகளான அட்சக் கோடு[latitude] ,  தீர்க்க கோடு [Longitude] மூலம் குறிக்கிறோம். 

இப்போது பூமிப் பந்தில் இரு புள்ளிகளுக்கு இடையே உள்ள குறைந்த பட்ச தூரம்  அறிவது எப்படி?

இரு பரிமாண சமதளத்தில் இரு புள்ளிகளுக்கு இடையே உள்ள குறைந்த பட்ச தூரம் நேர் கோடு எனில், முப்பரிமாண கோளத்தில் குறைந்த பட்ச தூரம் என்பது பெரிய வட்ட வில்[Great circle arc] ஆகும்.

பெரிய வட்டம் எனறால் இந்த இருபுள்ளிகளையும் இணைக்கும் வண்ணம் கோள[பூமி] மைய‌த்தில் இருந்து வரையப்படும் வட்டம் ஆகும்.[எப்பூடீ சகோ என்றால் சிந்திக்க மாட்டீர்களா??!!]

இது கோளத்தை(பூமியை) இரண்டாக பிரிக்கும்.

http://en.wikipedia.org/wiki/Great_circle

இதில் அட்சக் கோடு(latitude) என்பது பூமியின் மீது கிடைமட்டமாக கிழக்கில் இருந்து மேற்கு செல்லும் கற்பனைக் கோடுகள் ஆகும்.நிலநடுக்கோடு என்பது 0 டிகிரி, வடதுருவம் 90 டிகிரி ,தென் துருவம் ‍டிகிரி ஆகும்.

இது φ என்னும் குறியீட்டால் அறியப் படுகிறது . -90=<φ=<90 degrees.


இதில்  தீர்க்க கோடு [Longitude] என்பது பூமியின் மீது மேல் கீழாக‌ வட துருவத்தில் இருந்து தென் துருவம் செல்லும் கற்பனைக் கோடுகள் ஆகும்.

இது λ என்னும் குறியீட்டால் அறியப்படுகிறது . -180=<λ=<180 degrees.

லண்டன் ராயல் ஆய்வகம் வழி செல்லும் கிரீன்விச் தீர்க்க கோடு 0 டிகிரி ஆகும்.நேரமும் இதன் அடிப்படையில் கண்க்கிடப் படுகிறது. கிழக்கு, வடக்கு நேர் எண் மதிப்பும்[positive], மேற்கு, தெற்கு எதிர் எண் [negative]மதிப்பும் கொடுக்கிறோம்.


இப்போது பூமியின் இரு இடங்களின் அட்ச ,தீர்க்க கோடு மதிப்பு அறிந்தால் அவைகளுக்கு இடையே உள்ள தூரம் காணும் சூத்திரம் அறிவோம்.

 \phi_s,\lambda_s;\ \phi_f,\lambda_f\;\! என்பவை தொடங்கும்(Starting), சேரும்(Final) இடங்களின் அட்ச,தீர்க்க கோடுகள் ஆகட்டும்.
;இடைப் பட்ட கோண அளவு  \Delta\widehat{\sigma}\;\!, காணும் சூத்திரம்
{\color{white}\Big|}\Delta\widehat{\sigma}=\arccos\big(\sin\phi_s\sin\phi_f+\cos\phi_s\cos\phi_f\cos\Delta\lambda\big).\;\!
\Delta\widehat{\sigma}\;\! unit is Radian[ PI Radians=180 degrees]


Δλ=λs- λf
கோண அளவு ரேடியன்களின் உள்ள போது ஆரத்தை பெருக்கினால் தூரம் கிட்டும்.


d = r \, \Delta\widehat{\sigma}.\,\!


r = 6,371,009 metres

Worked example

For an example of the formula in practice, take the latitude and longitude of two airports:
  • Nashville International Airport (BNA) in Nashville, TN, USA: N 36°7.2', W 86°40.2'
  • Los Angeles International Airport (LAX) in Los Angeles, CA, USA: N 33°56.4', W 118°24.0'
First convert the co-ordinates to decimal degrees
  • BNA: \;\phi_s=36.12^\circ \quad\lambda_s=-86.67^\circ\;\!
  • LAX: \;\phi_f=33.94^\circ \quad\lambda_f=-118.40^\circ\;\!
Plug these values into the spherical law of cosines: \cos\Delta\widehat{\sigma}=\sin\phi_s\sin\phi_f+\cos\phi_s\cos\phi_f\cos\Delta\lambda\,\!
\Delta\widehat{\sigma} comes out to be 25.958 degrees, or 0.45306 radians, and the great-circle distance is the assumed radius times that angle:


r\,\Delta\widehat{\sigma}\approx 6372.8 \times 0.45306 \approx 2887.26\mbox{ km}.\;\!

இப்பதிவில் சொல்லியது மிகவும் எளிதான தோராய[approximate] கணக்கீட்டுமுறை. பூமியை ஒரு கோளமாக[Sphere] அனுமானித்தே இந்த சூத்திரம் வடிவமைக்கப் பட்டது.

இந்த சூத்திரம் எப்படி வந்தது என ஒருவராவது விரும்பினால் அடுத்த பதிவில் எழுதுகிறேன்!! 

நன்றி!!!


11 comments:

  1. என்க்கு மிகவும் பிடித்த, தெரிந்து கொள்ள விரும்பிய, கணித விளக்கம். ஆனா மேலோட்டமாப் பாத்ததுக்கே தலை சுத்துதே, நான் எப்ப ஆழமாப் படிச்சுப் புரிஞ்சுக்கிறது? அடுத்த ஜன்மத்தில் முயற்சிக்கிறேன்.

    ReplyDelete
    Replies
    1. வணக்கம் அய்யா
      வாங்க!!
      இது ஒன்னும் கம்பசூத்திரம் இல்லை. கிடைமட்ட வட்டக் கோடு அட்சக் கோடு மைனஸ் 90 ல் இருந்து ப்ளஸ் 90 வரை இருக்கிறது.

      மேல் கீழ் வட்டக் கோடுகள் தீர்க்க கோடுகள் மைனஸ் 180 ல் இருந்து ப்ளஸ் 180 வரை இருக்கிறது.
      பூமியின் ஒவ்வொரு இடத்தையும் இந்த இருகோடுகள் மூலம் குறிக்க முடியும்.

      இரு இடங்களுக்கு இடையே தூரம் வேண்டும் எனில் சூத்திரத்தில் பிரதியிட வேண்டியதுதான்.

      சூத்திரம் பயன்படுத்த எப்படி வந்தது என அறிய வேண்டியது இல்லை.

      **
      பூமியின் வடிவம் சுத்தமான கோளம் அல்ல, கொஞ்சம் நீள்வட்ட கோளம், அதற்கு சூத்திரம் கொஞ்சம் மாறும் என்றாலும், பதிவில் சொன்ன சூட்திரம் புரிதலுக்கு போதுமானது!!

      **
      மறு ஜன்மம் எல்லாம் கிடையாது என்பதே நம் கருத்து!!.

      ஆகவே பிடித்த விடயத்தை கேள்வி கேட்டு கற்க முயல்வதே நன்று!!

      நன்றி அய்யா!!

      Delete
    2. நன்றி, சார்வாகன், முயற்சிக்கிறேன்.

      Delete
  2. S=r x angle in radians என்று படித்திருக்கிறேன்.
    நிருபணத்தை நிச்சயம் சொல்லுங்கள் ஆற்றலரசு. தெரிந்து கொள்ள ஆவலாக இருக்கிறேன்.உங்கள் பரிணாமப் பதிவுகளைவிட இது போன்ற பதிவுகளையே விரும்பிப் படிக்கிறேன்.உங்கள் நுண்ணறிவு பிரமிக்க வைக்கிறது.

    ReplyDelete
    Replies
    1. சகோ முரளி,
      பதிவின் சாரம் உங்களுக்கு புரிந்தது என எண்ணுகிறேன். நான் எதுவுமே புதிதாக சொல்லவில்லை. விக்கிபிடியாவின் விவரங்களை எளிய தமிழுக்கு மாற்றினேன். அவ்வளவுதான்.

      நம்ம மாப்ளே தாசுக்குதான் என்னைப் பத்தி சரியாக தெரிகிறது.

      எனினும் வாழ்த்துக்கு நன்றி!! விளக்கம் சீக்கிரம் இடுகிறேன்!!!

      Delete
  3. இந்த தலைப்பு, "பந்து: பெரிய வட்டம்: குறுக்குப் பாதை" பார்த்து நம்ம விஷயம் என்று வந்தால்...

    அய்யா அப்பீட்! கொல்லன் பட்டரையிலே ஈக்கு என்ன வேலை?

    சாமி! படிக்கும் படியா எதாவது பதிவு போடுங்க!

    ReplyDelete
    Replies
    1. வாங்க நண்பர் நம்பள்கி,

      ஹி ஹி சில சமயம் இருபொருள் நம்மை அறியாமல் வந்து விடும். பாருங்கள் கிட்னியை தமிழில் சிறுநீரகம் என பாட புத்தகத்தில் இருக்கும்.ஆனால் நாம் நினைப்பது அப்படின்னா "அது ". ஆசிரியர் இன்று நாம் சிறுநீரகத்தை பார்ப்போம் என்றால் வகுப்பில் சிரிப்பு வந்துவிடும்.

      ஹி ஹி

      நன்றி!!

      Delete
  4. \\உங்கள் நுண்ணறிவு பிரமிக்க வைக்கிறது.\\ இப்படி உசுப்பேத்தி உசுப்பேத்தியே ரணகளமாக்கிட்டாங்கலேடா................ [ முரளீதரன் Sorry Brother, வாய வச்சுகிட்டு சும்மா இருக்க முடியலே!! ]

    ReplyDelete
    Replies
    1. மாப்ளே தாசு வாங்க,
      உங்களைப் பார்க்காவிட்டால் நம்க்கு போர் அடிக்கிறது. என்னைப் பத்திய இரகசியங்களை நீங்களும், உங்களைப் பத்திய இரகசியங்களை நானும் வெளியே சொல்ல்க் கூடாது.

      ஏன் எனில் நானும் உங்களை மாதிரித்தான் ஹி ஹி. ஒரே குட்டையில் ஊறிய மட்டைகள்!!

      பதிவில் சொன்னது பத்தி ஏதாவது சொல்லும், இல்லை மேலதிக விடயம் கொடுக்கவும்.

      சொன்னவனைப் பார்க்காதீர், சொன்ன விடயத்தை சிந்திக்க மாட்டீர்களா!!

      நன்றி!!

      Delete
  5. நல்ல பதிவு சார்வாகன். புரியும் படி அருமையாய் இருந்தது. நன்றி.

    அதுவும் அந்த பூமி பந்தில் ஒரு பகுதியை, ஒரு ஆப்பிளை எப்படி வேட்டுவோமோ அப்படி வெட்டி, காட்டிய படம் இந்த " -90=<φ=<90 degree, -180=<λ=<180 degrees" விஷயங்களை அழகாய் விளக்கிவிட்டது. இல்லாவிடில் எனக்கு சற்று கஷ்டமாக தான் இருந்திருக்கும். சும்மாவா சொல்கிறார்கள் ஒரு படம் ஆயிரம் வார்த்தைக்கு சமானம் என்று.

    சூத்திரம் எப்படி வந்தது என்ற பதிவையும் எப்போது முடியுமோ அப்போது இடுங்கள். முடிந்தால் படங்களோடு ;)

    ReplyDelete
    Replies
    1. சகோ கணேசன் வாங்க,
      மிகச் சரியாக சொன்னீர்கள், அந்த இரு கோண்ங்களையும் சரியாக விளக்கும் படமே அதிக தேடல் பிடித்தது.

      இதில் இன்னும் பல விடயங்கள் உண்டு.
      1. பூமியின் தோராய வடிவமே கோளம், உண்மையில் கொஞ்சம் நீள்வட்ட கோளம் என்பதால் சூத்திரம் கொஞ்சம் மாறும்.

      2. இப்பதிவில் தூரம் மட்டுமே அறிந்தோம். ஒரு இடத்தில் இன்னொரு இடம் நோக்கி செல்லும் போது எப்படி அதனை எப்படி ஒவ்வொரு வினாடிக்கும் அறிந்து திசையை மாற்றுவது?.விமானம், ஏவுகணைகளில் இந்த கணிதமுறை அதிகம் பயன்பாடு உள்ளது.

      3 பொது சார்பியல் கொள்கையின் படி பேரண்டம் 4 பரிமாண அமைப்பு, அதிலும் ஒரு பொருள் ஈர்ப்பினால் விழும் போது செல்லும் பாதை கண்டுபிடிப்பதும், பூமியின் ஒரு பகுதியை நோக்கி செல்லும் பாதையும் தொடர்புடையவை!!!.அதுக்குத்தான் இப்பதிவு!!

      நன்றி!!

      Delete