பிதாகரஸ் தேற்றத்திற்கு முழு எண் தீர்வுகள் கண்டறியும் விதம்

ஃபெர்மேட்டின் கடைசி தேற்றம் குறித்து இன்னும் சில பதிவுகள் எழுத ஆர்வத்தை தூண்டிய சகோ நரேனுக்கு நன்றி.ஃபெர்மேட்டின் தேற்றங்கள் முழு எண் இயலில்(number theroy)  மிக முக்கியத்துவம் பெற்ற்வை.முந்தைய பதிவில் இந்த தேற்றதின் இரண்டாவது பரிமாணத்திற்கு மட்டுமே விடை உண்டு என்று கூறியிருந்தேன்.

இரண்டாம் பரிமானம் என்றால் பிதாகரஸ் தேற்றமே.ஒரு செங்கோண முக்கொணத்தின் பக்கங்கள் முழு எண்களாக வடிவமைக்க முடியுமா என்பதே எளிமையான கேள்வி.அனைவருக்கும் (3,4,5) ,(5,12,13) போன்ற சில தீர்வுகள் அறிந்ததே.இப்பதிவில் இம்மாதிரி எத்தனை தீர்வுகள் வேண்டுமானாலும் கண்டுபிடிக்கும் ஒரு முறையை அறிமுகம் செய்கிறேன்.இந்த ஃபார்முலா எப்படி வந்தது என்றாம் நிரூபனம் தருவதில் விருப்பமே என்றாலும் ப்யன் பாட்டை மட்டும் இப்பதிவில் பார்ப்போம். 

பிதாகஸ் தேற்றத்தின் ஃபெர்மேட் புதிர் இவ்வாறு வரையறுக்கலாம்.

a^2+b^2=c^2,a,b,c are integers(முழு எண்)

தீர்வு ஃபார்முலா மட்டும் தருகிறேன்.நிரூபணம் தேவை என்றால் தருகிறேன்.

p,q =any integers.

 a=2*p*q

b=p^2-q^2

c=p^2+q^2

p ≠q(not equal)

இப்புதிருக்கு எண்ணற்ற தீர்வுகள் இருப்பதால் p,q  மதிப்பு அளித்து a,b,c மதிப்புகளை பெற்று கொள்ளலாம்.

p=2 ,q=1 எனில் 

a=2*2*1=4,

b=2^2-1^2 =3

 c=2^2+1^2=5

ஒரு எக்ஸெல்(excel sheet) ஷீட்டில் 45 தீர்வுகள் எளிதில் கணக்கிட முடிந்தது. இன்னும் 1 மில்லியன் தீர்வகள் கூட அளிக்க முடியும்.. நிரூபனம் வேண்டும் நண்பர்களுக்கு பின்னூட்டத்தில் அளிக்கிறேன்.

S.no	p	q	a	b	c
1	2	1	4	3	5
2	3	1	6	8	10
3	4	1	8	15	17
4	5	1	10	24	26
5	6	1	12	35	37
6	7	1	14	48	50
7	8	1	16	63	65
8	9	1	18	80	82
9	10	1	20	99	101
10	3	2	12	5	13
11	4	2	16	12	20
12	5	2	20	21	29
13	6	2	24	32	40
14	7	2	28	45	53
15	8	2	32	60	68
16	9	2	36	77	85
17	10	2	40	96	104
18	4	3	24	7	25
19	5	3	30	16	34
20	6	3	36	27	45
21	7	3	42	40	58
22	8	3	48	55	73
23	9	3	54	72	90
24	10	3	60	91	109
25	5	4	40	9	41
26	6	4	48	20	52
27	7	4	56	33	65
28	8	4	64	48	80
29	9	4	72	65	97
30	10	4	80	84	116
31	6	5	60	11	61
32	7	5	70	24	74
33	8	5	80	39	89
34	9	5	90	56	106
35	10	5	100	75	125
36	7	6	84	13	85
37	8	6	96	28	100
38	9	6	108	45	117
39	10	6	120	64	136
40	8	7	112	15	113
41	9	7	126	32	130
42	10	7	140	51	149
43	9	8	144	17	145
44	10	8	160	36	164
45	10	9	180	19	181